Практическая работа - 24. • Преплеснение интеграла при решении дagar. ~ 1. Силой в 80 Н пружина растегивается Амина пружины 0,15 м. овоначальная Длина вается на 0,02 м. 0,15 м. какую Чтобы растянуть ве ро работу нужно совершить, чтобы 2. 2 на 2 2 Coll. Первоначально длина пружины равна 14 см, какую работу, нужно совершить оверишить, чтобы растянуть ее дв растягивает пружину нас 13. Вычислить объем тела, полученного вращением. фигуры, ограниченной менееме у = 2х-хаутом Увокруг adu ox -2x- тела, полученного при вращение 4. Вычислить объем тела, вокруг си общие фúry мокругу бсцисс фигура, ограниченной ление y=2x+(-2); y = 0; объем 25. Найти тела фигуры, ограниченной линиибыли у = vx ; X = на получаемого вращения вокруг абсцисс.

№1

Сила в 80 Н растягивает пружину на 0,02 м. Первоначальная длина пружины 0,15 м. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 0,2 м?

Решение:

Из закона Гука известно, что сила упругости пропорциональна растяжению пружины: \[F = kx\], где k - коэффициент жесткости пружины.

Сначала найдем коэффициент жесткости k:

\[k = \frac{F}{x} = \frac{80 \, H}{0.02 \, м} = 4000 \, Н/м\]

Теперь, чтобы найти работу, необходимую для растяжения пружины с 0,15 м до 0,2 м, нужно найти изменение растяжения:

\[x_1 = 0.15 \, м\]

\[x_2 = 0.2 \, м\]

Работа для растяжения пружины от x₁ до x₂ вычисляется как интеграл силы по расстоянию:

\[A = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)\]

Подставим значения:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 4000 \cdot (0.2^2 - 0.15^2) = 2000 \cdot (0.04 - 0.0225) = 2000 \cdot 0.0175 = 35 \, Дж\]

Ответ: 35 Дж

№2

Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см, какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 20 см?

Решение:

Сначала переведём все размеры в метры:

\[2 \, см = 0.02 \, м\]

\[14 \, см = 0.14 \, м\]

\[20 \, см = 0.2 \, м\]

Найдём коэффициент жесткости k:

\[k = \frac{F}{x} = \frac{60 \, H}{0.02 \, м} = 3000 \, Н/м\]

Работа для растяжения пружины от 14 см до 20 см:

\[x_1 = 0.14 \, м\]

\[x_2 = 0.2 \, м\]

\[A = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)\]

Подставим значения:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 3000 \cdot (0.2^2 - 0.14^2) = 1500 \cdot (0.04 - 0.0196) = 1500 \cdot 0.0204 = 30.6 \, Дж\]

Ответ: 30.6 Дж

№3

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями \[y = 2x - x^2\], \[y = 0\] вокруг оси OX.

Решение:

Объем тела вращения вокруг оси OX можно найти по формуле:

\[V = \pi \int_a^b y^2 \, dx\]

где a и b - точки пересечения кривой с осью OX. Найдем их, приравняв y к нулю:

\[2x - x^2 = 0\]

\[x(2 - x) = 0\]

Отсюда \[x = 0\] или \[x = 2\].

Теперь вычислим интеграл:

\[V = \pi \int_0^2 (2x - x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx\]

\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2\]

\[V = \pi \left( \frac{4}{3}(2^3) - 2^4 + \frac{1}{5}(2^5) \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right)\]

\[V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5 - 16 \cdot 15 + 32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right)\]

\[V = \frac{16\pi}{15}\]

Ответ: \(\frac{16\pi}{15}\)

№4

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями \[y = 2x + (-2) = 2x-2\]; \[y = 0\]; \[x = 3\].

Решение:

Объем тела вращения вокруг оси OX можно найти по формуле:

\[V = \pi \int_a^b y^2 \, dx\]

где a и b - пределы интегрирования. В данном случае, a - точка пересечения линии \[y = 2x - 2\] с осью OX, b = 3.

Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв y к нулю:

\[2x - 2 = 0\]

\[2x = 2\]

\[x = 1\]

Таким образом, a = 1, b = 3.

Теперь вычислим интеграл:

\[V = \pi \int_1^3 (2x - 2)^2 \, dx = \pi \int_1^3 (4x^2 - 8x + 4) \, dx\]

\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + 4x \right]_1^3\]

\[V = \pi \left( \frac{4}{3}(3^3) - 4(3^2) + 4(3) - \left( \frac{4}{3}(1^3) - 4(1^2) + 4(1) \right) \right)\]

\[V = \pi \left( \frac{4}{3}(27) - 36 + 12 - \frac{4}{3} + 4 - 4 \right)\]

\[V = \pi \left( 36 - 36 + 12 - \frac{4}{3} \right) = \pi \left( 12 - \frac{4}{3} \right)\]

\[V = \pi \left( \frac{36 - 4}{3} \right) = \frac{32\pi}{3}\]

Ответ: \(\frac{32\pi}{3}\)

№5

Найти объем тела, получаемого вращением фигуры, ограниченной линиями \[y = \sqrt{x}\]; \[x = 4\] и \[y = 0\] вокруг оси абсцисс.

Решение:

Объем тела вращения вокруг оси OX можно найти по формуле:

\[V = \pi \int_a^b y^2 \, dx\]

где a и b - пределы интегрирования. В данном случае, \[a = 0\] и \[b = 4\].

Вычислим интеграл:

\[V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\]

\[V = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^4\]

\[V = \pi \left( \frac{1}{2}(4^2) - \frac{1}{2}(0^2) \right) = \pi \left( \frac{1}{2}(16) \right)\]

\[V = 8\pi\]

Ответ: \(8\pi\)