Практическая работа № 12 Тема: Применение определенного интеграла к вычислению площадей фигур. Цель: Научиться вычислять площади фигур, используя интеграл. Порядок выполнения работы: 1. Повторите теоретическую часть работы. 2. Выберите свой вариант заданий. 3.Запишите тему, цель работы. 4. Перепишите условие, перед тем как начнёте выполнять задание. 5. Подробно распишите решение. Табличные значения неопределенных интегралов ∫dx = x + c [x" dx = Xn+1 dx n+1 Jax = ln|x| + c X ax In a + c Ja*dx = + c Je*dx = e* + c Теоретическая часть [sin xdx = - cos x + c dx 1 X - arctg -+c [cos xdx = sin x + c a² + x² a a dx 1 x-a dx In + c = tgx + c 2 a²-x² 2a x+a COS X dx = -ctgx + c sin 2 X Задание. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями (пользуйтесь алгоритмом решения задачи на вычисление площади фигуры): Вариант 1. 1) y = x²+2x-3, y=0. 2) y = cos x, y =0, x=0, x=π. 3) y = x² +1, y = 10.

Вариант 1

1) y = x² + 2x - 3, y = 0

• Шаг 1: Находим точки пересечения кривой с осью Ox, решая уравнение x² + 2x - 3 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √16) / (2 * 1) = (-2 + 4) / 2 = 1

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √16) / (2 * 1) = (-2 - 4) / 2 = -3

• Шаг 2: Теперь нужно вычислить интеграл от -3 до 1 функции x² + 2x - 3:

\[ S = \left| \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) dx \right| \]

• Шаг 3: Интегрируем функцию:

\[ \int (x^2 + 2x - 3) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + C \]

• Шаг 4: Применяем определенный интеграл:

\[ \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x \right]_{-3}^{1} \]

\[ = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) \right) \]

\[ = \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) - \left( \frac{-27}{3} + 9 + 9 \right) \]

\[ = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( -9 + 18 \right) \]

\[ = \frac{1}{3} - 2 - 9 = \frac{1}{3} - 11 = \frac{1 - 33}{3} = -\frac{32}{3} \]

• Шаг 5: Берем абсолютное значение, так как площадь не может быть отрицательной:

\[ S = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3} \]

Площадь равна 32/3.

Ответ: Площадь фигуры равна 32/3.

2) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π

• Шаг 1: Вычисляем интеграл от 0 до π функции cos x:

\[ S = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx \]

• Шаг 2: Интегрируем функцию:

\[ \int \cos x dx = \sin x + C \]

• Шаг 3: Применяем определенный интеграл:

\[ \int_{0}^{\pi} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} \]

\[ = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \]

Поскольку функция cos x меняет знак на интервале [0, π], нужно разбить интеграл на два: от 0 до π/2 и от π/2 до π.

• Шаг 4: Вычисляем интеграл от 0 до π/2 функции cos x:

\[ S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \]

• Шаг 5: Вычисляем интеграл от π/2 до π функции cos x:

\[ S_2 = \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x dx \right| = \left| \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right| = |\sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{2})| = |0 - 1| = 1 \]

• Шаг 6: Складываем площади:

\[ S = S_1 + S_2 = 1 + 1 = 2 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 2.

3) y = x² + 1, y = 10

• Шаг 1: Находим точки пересечения кривых, решая уравнение x² + 1 = 10.

x² = 9

x₁ = 3

x₂ = -3

• Шаг 2: Вычисляем интеграл от -3 до 3 разности функций 10 и (x² + 1):

\[ S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx \]

• Шаг 3: Интегрируем функцию:

\[ \int (9 - x^2) dx = 9x - \frac{x^3}{3} + C \]

• Шаг 4: Применяем определенный интеграл:

\[ \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]

\[ = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right) \]

\[ = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - \left( -27 - \frac{-27}{3} \right) \]

\[ = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 36.