Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПрактическая работа № 50 Тема: Решение логарифмических уравнений. Цель: Научиться применять различные методы (основное свойство логарифма, замена переменной и др.) для нахождения корней уравнений, содержащих переменную под знаком логарифма. B-1 1. Решите уравнение logs (4 + x)= 2 2. Решите уравнение log3 (4x-3)=log3 (2x-3)+1 3. Решите уравнение log2^2 x - 4log4 x = 3 B-2 1. Решите уравнение log₁ (7-x)=-2 7 2. Решите уравнение log4 (6x+5)= log4 (4x+3)+1 3. Решите уравнение log5^2 x-2=3log125 x Критерии оценивания: Оценка «3» - правильно выполнено одно задание Оценка «4» - правильно выполнены два задания Оценка «5» - правильно выполнены три задания
Ответ:
Практическая работа № 50: Решение логарифмических уравнений
Привет! Разбираемся с логарифмическими уравнениями. Логика такая: нужно уметь применять разные методы, чтобы упростить и решить уравнения.
B-1
-
Решите уравнение: \[ \log_5(4 + x) = 2 \]
Краткое пояснение: Чтобы решить уравнение, нужно избавиться от логарифма, используя определение.Решение:
\[ 4 + x = 5^2 \]
\[ 4 + x = 25 \]
\[ x = 25 - 4 \]
\[ x = 21 \]
Ответ: \[ x = 21 \]
-
Решите уравнение: \[ \log_3(4x - 3) = \log_3(2x - 3) + 1 \]
Краткое пояснение: Перенесем все логарифмы в одну сторону и упростим уравнение.Решение:
\[ \log_3(4x - 3) - \log_3(2x - 3) = 1 \]
\[ \log_3\left(\frac{4x - 3}{2x - 3}\right) = 1 \]
\[ \frac{4x - 3}{2x - 3} = 3^1 \]
\[ 4x - 3 = 3(2x - 3) \]
\[ 4x - 3 = 6x - 9 \]
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]
Ответ: \[ x = 3 \]
-
Решите уравнение: \[ \log_2^2 x - 4\log_4 x = 3 \]
Краткое пояснение: Сначала нужно привести логарифмы к одному основанию.Решение:
\[ \log_2^2 x - 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 3 \]
\[ \log_2^2 x - 2 \log_2 x - 3 = 0 \]
Пусть \[ y = \log_2 x \], тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
\[ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]
Вернемся к замене:
\[ \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8 \]
\[ \log_2 x = -1 \Rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]
Ответ: \[ x = 8, \quad x = \frac{1}{2} \]
B-2
-
Решите уравнение: \[ \log_{\frac{1}{7}}(7 - x) = -2 \]
Краткое пояснение: Используем определение логарифма.Решение:
\[ 7 - x = \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} \]
\[ 7 - x = 7^2 \]
\[ 7 - x = 49 \]
\[ x = 7 - 49 \]
\[ x = -42 \]
Ответ: \[ x = -42 \]
-
Решите уравнение: \[ \log_4(6x + 5) = \log_4(4x + 3) + 1 \]
Краткое пояснение: Снова перенесем все логарифмы в одну сторону.Решение:
\[ \log_4(6x + 5) - \log_4(4x + 3) = 1 \]
\[ \log_4\left(\frac{6x + 5}{4x + 3}\right) = 1 \]
\[ \frac{6x + 5}{4x + 3} = 4 \]
\[ 6x + 5 = 4(4x + 3) \]
\[ 6x + 5 = 16x + 12 \]
\[ 10x = -7 \]
\[ x = -\frac{7}{10} \]
Ответ: \[ x = -\frac{7}{10} \]
-
Решите уравнение: \[ \log_5^2 x - 2 = 3\log_{125} x \]
Краткое пояснение: Приведем логарифмы к одному основанию.Решение:
\[ \log_5^2 x - 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_5 x \]
\[ \log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0 \]
Пусть \[ y = \log_5 x \], тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - y - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
Вернемся к замене:
\[ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 \]
\[ \log_5 x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
Ответ: \[ x = 25, \quad x = \frac{1}{5} \]
Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать логарифмические уравнения! Если что, обращайся.
