Практическая работа №1. Плоская система сходящих сил. Аналитические и графически определить реакции стержней, удерживающих груза F₁ и F₂. Массой стержней пренебречь. F₁ = 400 H F₂ = 900 H

Решение:

Для определения реакций стержней, удерживающих грузы, необходимо применить условие равновесия сил, действующих в точке подвеса. Точка B находится в равновесии под действием трех сил: силы натяжения верхнего стержня (F_AC), силы натяжения нижнего стержня (F_B), и силы, действующей со стороны груза F₁.

Для удобства решения, используем метод разложения сил на компоненты. В данном случае, для простоты, будем использовать закон синусов для сил.

1. Аналитическое решение:

Сначала определим углы, которые образуют стержни AC и AB с горизонталью.

Угол стержня AC с горизонталью: \( \alpha = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \)

Угол стержня AB с горизонталью: \( \beta = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \)

Сила \( F_1 \) действует вертикально вниз. Сила \( F_2 \) действует через блок, что означает, что она приложена к точке B и направлена вертикально вниз (предполагается, что блок невесомый и трение в нем отсутствует, а груз F₂ имеет массу, соответствующую силе 900Н).

Для точки B, условия равновесия сил:

Сумма проекций сил на горизонтальную ось: \( F_{AC} \textrm{cos}(15^{\circ}) - F_{AB} \textrm{cos}(40^{\circ}) = 0 \)

Сумма проекций сил на вертикальную ось: \( F_{AC} \textrm{sin}(15^{\circ}) + F_{AB} \textrm{sin}(40^{\circ}) - F_1 - F_2 = 0 \)

Из первого уравнения: \( F_{AC} \textrm{cos}(15^{\circ}) = F_{AB} \textrm{cos}(40^{\circ}) \) => \( F_{AC} = F_{AB} \frac{\textrm{cos}(40^{\circ})}{\textrm{cos}(15^{\circ})} \)

Подставим во второе уравнение:

\( F_{AB} \frac{\textrm{cos}(40^{\circ})}{\textrm{cos}(15^{\circ})} \textrm{sin}(15^{\circ}) + F_{AB} \textrm{sin}(40^{\circ}) = F_1 + F_2 \)

\( F_{AB} \textrm{cos}(40^{\circ}) \textrm{tg}(15^{\circ}) + F_{AB} \textrm{sin}(40^{\circ}) = F_1 + F_2 \)

\( F_{AB} (\textrm{cos}(40^{\circ}) \textrm{tg}(15^{\circ}) + \textrm{sin}(40^{\circ})) = F_1 + F_2 \)

\( F_{AB} = \frac{F_1 + F_2}{\textrm{cos}(40^{\circ}) \textrm{tg}(15^{\circ}) + \textrm{sin}(40^{\circ})} \)

Подставляем значения \( F_1 = 400 \) Н и \( F_2 = 900 \) Н:

\( F_{AB} = \frac{400 + 900}{\textrm{cos}(40^{\circ}) \textrm{tg}(15^{\circ}) + \textrm{sin}(40^{\circ})} \)

\( \textrm{cos}(40^{\circ}) \approx 0.766 \)

\( \textrm{tg}(15^{\circ}) \approx 0.268 \)

\( \textrm{sin}(40^{\circ}) \approx 0.643 \)

\( F_{AB} = \frac{1300}{0.766 \times 0.268 + 0.643} = \frac{1300}{0.205 + 0.643} = \frac{1300}{0.848} \approx 1533 \) Н

Теперь найдем \( F_{AC} \):

\( F_{AC} = F_{AB} \frac{\textrm{cos}(40^{\circ})}{\textrm{cos}(15^{\circ})} = 1533 \frac{0.766}{\textrm{cos}(15^{\circ})} \)

\( \textrm{cos}(15^{\circ}) \approx 0.966 \)

\( F_{AC} = 1533 \times \frac{0.766}{0.966} \approx 1533 \times 0.793 \approx 1215 \) Н

2. Графическое решение:

Для графического решения необходимо построить «силовой треугольник» или «силовой многоугольник». В данном случае, так как в точке B сходятся три силы, строим силовой треугольник.

Шаг 1: Выбираем масштаб. Например, 1 см = 100 Н.

Шаг 2: Откладываем силу \( F_1 + F_2 = 400 + 900 = 1300 \) Н (13 см) вертикально вниз от точки B. Обозначим эту результирующую силу как \( F_{res} \).

Шаг 3: Теперь от конца вектора \( F_{res} \) (то есть от точки, куда приложена суммарная сила \( F_1 + F_2 \)) откладываем вектор силы \( F_{AB} \) под углом \( 40^{\circ} \) к горизонтали (или \( 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \) к вертикали, то есть к \( F_{res} \), если \( F_{res} \) горизонтальна, но здесь \( F_{res} \) вертикальна, поэтому угол \( 50^{\circ} \) с вертикалью, или \( 40^{\circ} \) с горизонталью).

Шаг 4: От начала вектора \( F_{res} \) (точки B) откладываем вектор силы \( F_{AC} \) под углом \( 15^{\circ} \) к горизонтали (или \( 75^{\circ} \) к вертикали).

Шаг 5: Замыкаем треугольник. Длина вектора \( F_{AB} \) и \( F_{AC} \) соответствует силам натяжения стержней. При построении, векторы \( F_{AB} \) и \( F_{AC} \) должны быть направлены из точки B, а векторы \( -F_{AB} \) и \( -F_{AC} \) должны замыкать треугольник с \( F_{res} \).

Внимание: Для точного графического решения требуется чертеж с соблюдением масштаба и углов.

Пример построения (без масштаба, только схема):

Проверка: Сумма сил \( F_{AC} \) и \( F_{AB} \) должна компенсировать \( F_1 + F_2 \).

Ответ: Реакция стержня AC (F_AC) ≈ 1215 Н, реакция стержня AB (F_AB) ≈ 1533 Н.