Практическая работа № 17. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств. Задание (1 часть): 1. Решите неравенство графически: I вариант: −x² + 6x − 5 ≥ 0; II вариант: −x² + 6x − 9 < 0. 2. Решите графически систему уравнений: I вариант: x − 2y − 8 = 0, x − y − 6 = 0; II вариант: xy = −2, x + y = 1. 3. Решите графически: I вариант: (1/3)ˣ = x − 2/3; II вариант: (1/2)ˣ < x − 1/2.

Выполнены оба предложенных варианта.

1. I вариант. Сравним графики функций y = −x² + 6x − 5 и y = 0. Нули параболы: −x² + 6x − 5 = 0, откуда x² − 6x + 5 = 0 и (x − 1)(x − 5) = 0. Ветви параболы направлены вниз, поэтому график расположен не ниже оси Ox между точками пересечения, включая их.

Ответ: x ∈ [1; 5].

1. II вариант. −x² + 6x − 9 = −(x − 3)². График касается оси Ox при x = 3 и во всех остальных точках находится ниже неё. Для строгого неравенства точка x = 3 не подходит.

Ответ: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

2. I вариант. Перепишем уравнения в виде y = x/2 − 4 и y = x − 6. Их графики — прямые; абсцисса точки пересечения находится из равенства x/2 − 4 = x − 6. Тогда x = 4, а y = −2.

Ответ: (4; −2).

2. II вариант. Графики — гипербола y = −2/x и прямая y = 1 − x. В точках пересечения xy = −2 и x + y = 1. Подставим y = 1 − x: x(1 − x) = −2, откуда x² − x − 2 = 0 и (x − 2)(x + 1) = 0. Получаем x = 2 или x = −1; соответствующие значения y равны −1 и 2.

Ответ: (2; −1), (−1; 2).

3. I вариант. Рассмотрим графики y = (1/3)ˣ и y = x − 2/3. При x = 1 обе функции принимают значение 1/3, значит графики пересекаются в точке (1; 1/3). Функция (1/3)ˣ убывает, а линейная функция возрастает, поэтому пересечение единственное.

Ответ: x = 1.

3. II вариант. Сравним графики y = (1/2)ˣ и y = x − 1/2. При x = 1 обе функции равны 1/2. Поскольку первая функция строго убывает, а вторая строго возрастает, при x > 1 график экспоненты расположен ниже прямой. Неравенство строгое, поэтому x = 1 не включается.

Ответ: x ∈ (1; +∞).