Практическая работа № 60. Тема: Взаимно обратные функции. Цель: Научиться находить, строить и распознавать обратные функции, понимая условия их существования, свойства (симметричность графиков относительно у=х, области определения/значений), и применять эти знания для решения задач.

Задание B-1

1. а) График обратной функции является зеркальным отражением графика данной функции относительно прямой \( y=x \).
2. б) Для определения области определения и значений, нужно рассмотреть интервалы, в которых функция определена и принимает значения.
3. 2. Для функции \( y = \sqrt{x-3} \), найдем обратную функцию.
• Заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \): \( x = \sqrt{y-3} \).
• Возведем обе части в квадрат: \( x^2 = y-3 \) (при \( x ≥ 0 \)).
• Выразим \( y \): \( y = x^2 + 3 \).
• Таким образом, обратная функция: \( y = x^2 + 3 \), при \( x ≥ 0 \).
• Построение графиков обеих функций выполняется путем отражения относительно прямой \( y=x \).
4. 3. Даны две взаимно обратные функции \( y=f(x) \) и \( y=g(x) \), причем \( f(3)=-2 \), \( g(2)=4 \). Решите уравнение \( f(x)=2 \), \( g(x)=3 \).
• Если \( f(x)=2 \), то \( g(2)=x \). Так как \( g(2)=4 \), то \( x=4 \).
• Если \( g(x)=3 \), то \( f(3)=x \). Так как \( f(3)=-2 \), то \( x=-2 \).

Ответ: 3. а) График обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой y=x. б) Область определения и область значений находят по графику. 2. Обратная функция y = x^2 + 3, при x ≥ 0. 3. f(x)=2 при x=4, g(x)=3 при x=-2.

Задание B-2

1. а) График обратной функции является зеркальным отражением графика данной функции относительно прямой \( y=x \).
2. б) Для определения области определения и значений, нужно рассмотреть интервалы, в которых функция определена и принимает значения.
3. 2. Для функции \( y = x^2 + 5 \), где \( x ≥ 0 \), найдем обратную функцию.
• Заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \): \( x = y^2 + 5 \) (при \( y ≥ 0 \)).
• Выразим \( y^2 \): \( y^2 = x - 5 \).
• Извлечем квадратный корень: \( y = √{x-5} \) (так как \( y ≥ 0 \)).
• Таким образом, обратная функция: \( y = √{x-5} \), при \( x ≥ 5 \).
• Построение графиков обеих функций выполняется путем отражения относительно прямой \( y=x \).
4. 3. Даны две взаимно обратные функции \( y=f(x) \) и \( y=g(x) \), причём \( f(-5)=3 \), \( g(6)=-2 \). Решите уравнение \( f(x)=6 \), \( g(x)=-5 \).
• Если \( f(x)=6 \), то \( g(6)=x \). Так как \( g(6)=-2 \), то \( x=-2 \).
• Если \( g(x)=-5 \), то \( f(-5)=x \). Так как \( f(-5)=3 \), то \( x=3 \).

Ответ: 3. а) График обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой y=x. б) Область определения и область значений находят по графику. 2. Обратная функция y = √{x-5}, при x ≥ 5. 3. f(x)=6 при x=-2, g(x)=-5 при x=3.