Практическая работа № 8. Тема: «Исследование функции на монотонность с помощью производной». Вариант 1, 6, 11, 16, 21, 27: 1) \(y=4x^2-16x-6\); 2) \(y=8x^3-12x^2-5\); 3) \(y=x^3-11x^2-16x+3\); 4) \(y=\frac{2}{2x-3}\).

Исследуем каждую функцию с помощью производной: на промежутках, где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает.

1) \(y=4x^2-16x-6\)

1. Область определения: \(x\in\mathbb{R}\).
2. Находим производную: \(y'=8x-16=8(x-2)\).
3. Производная отрицательна при \(x<2\) и положительна при \(x>2\).

Функция убывает на \((-\infty,2)\) и возрастает на \((2,+\infty)\).

2) \(y=8x^3-12x^2-5\)

1. Область определения: \(x\in\mathbb{R}\).
2. Находим производную: \(y'=24x^2-24x=24x(x-1)\).
3. Критические точки: \(x=0\) и \(x=1\). Производная положительна при \(x<0\), отрицательна при \(01\).

Функция возрастает на \((-\infty,0)\) и \((1,+\infty)\), убывает на \((0,1)\).

3) \(y=x^3-11x^2-16x+3\)

1. Область определения: \(x\in\mathbb{R}\).
2. Находим производную: \(y'=3x^2-22x-16\).
3. Решаем уравнение \(3x^2-22x-16=0\): \(x=\frac{22\pm\sqrt{22^2+192}}{6}=\frac{22\pm26}{6}\). Корни: \(-\frac{2}{3}\) и \(8\).
4. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, производная положительна вне корней и отрицательна между ними.

Функция возрастает на \((-\infty,-\frac{2}{3})\) и \((8,+\infty)\), убывает на \((-\frac{2}{3},8)\).

4) \(y=\frac{2}{2x-3}\)

1. Область определения: \(x\ne\frac{3}{2}\).
2. Находим производную: \(y'=-\frac{4}{(2x-3)^2}\).
3. Производная отрицательна при всех допустимых значениях \(x\).

Функция убывает на \((-\infty,\frac{3}{2})\) и \((\frac{3}{2},+\infty)\).