Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1 1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно 3. 2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 3. В каждом из 12 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит точно 8 раз. 4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы. 5. Найти вероятность того, что при 9 испытаниях событие наступит ровно 5 раз, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Решим задачи по теории вероятностей, используя формулу Бернулли:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$, где

• $$n$$ - количество испытаний,
• $$k$$ - количество успехов,
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании,
• $$C_n^k$$ - число сочетаний из $$n$$ по $$k$$, $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

1. В данной задаче:

   • $$n = 8$$ (количество бросков монеты),
   • $$k = 3$$ (количество выпадений герба),
   • $$p = 0.5$$ (вероятность выпадения герба при одном броске).

   Тогда вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза:

   $$P_8(3) = C_8^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{8-3}$$.

   $$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$$.

   $$P_8(3) = 56 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^5 = 56 \cdot (0.5)^8 = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} = 0.21875$$.

   Ответ: 0.21875

2. В данной задаче:

   • $$n = 6$$ (количество детей в семье),
   • $$k = 2$$ (количество мальчиков),
   • $$p = 0.51$$ (вероятность рождения мальчика).

   Тогда вероятность того, что среди шести детей два мальчика:

   $$P_6(2) = C_6^2 \cdot (0.51)^2 \cdot (1-0.51)^{6-2} = C_6^2 \cdot (0.51)^2 \cdot (0.49)^4$$.

   $$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$.

   $$P_6(2) = 15 \cdot (0.51)^2 \cdot (0.49)^4 \approx 15 \cdot 0.2601 \cdot 0.05764801 \approx 0.2247$$.

   Ответ: 0.2247 (округленно)

3. В данной задаче:

   • $$n = 12$$ (количество испытаний),
   • $$k = 8$$ (количество успехов, событие А произошло 8 раз),
   • $$p = 0.4$$ (вероятность события А в одном испытании).

   Тогда вероятность того, что событие А произойдет точно 8 раз:

   $$P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0.4)^8 \cdot (1-0.4)^{12-8} = C_{12}^8 \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^4$$.

   $$C_{12}^8 = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$$.

   $$P_{12}(8) = 495 \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^4 \approx 495 \cdot 0.00065536 \cdot 0.1296 \approx 0.04199$$.

   Ответ: 0.04199 (округленно)

4. В данной задаче:

   • $$n = 6$$ (количество моторов),
   • $$k = 6$$ (все моторы включены),
   • $$p = 0.8$$ (вероятность включения одного мотора).

   Тогда вероятность того, что все 6 моторов включены:

   $$P_6(6) = C_6^6 \cdot (0.8)^6 \cdot (1-0.8)^{6-6} = C_6^6 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0$$.

   $$C_6^6 = 1$$.

   $$P_6(6) = 1 \cdot (0.8)^6 \cdot 1 = (0.8)^6 = 0.262144$$.

   Ответ: 0.262144

5. В данной задаче:

   • $$n = 9$$ (количество испытаний),
   • $$k = 5$$ (событие наступило 5 раз),
   • $$p = 0.2$$ (вероятность наступления события в каждом испытании).

   Тогда вероятность того, что событие наступит ровно 5 раз:

   $$P_9(5) = C_9^5 \cdot (0.2)^5 \cdot (1-0.2)^{9-5} = C_9^5 \cdot (0.2)^5 \cdot (0.8)^4$$.

   $$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$$.

   $$P_9(5) = 126 \cdot (0.2)^5 \cdot (0.8)^4 \approx 126 \cdot 0.00032 \cdot 0.4096 \approx 0.016515$$.

   Ответ: 0.016515 (округленно)