Практическая работа №6 Найдите площади фигур ограниченные линиями : 1.y=2,y=-2,x=3,x=0 2.y=x, x=3, y=0 3. f(x) = x² и прямыми у = 0, x = 1, x = 2. 4. y=cosx, x=-π/2, x= π/2 5. y = sinx+ 2, y = -1, x = 0, x = π Найти первообразную функций и определённые интегралы: cos x-5sin x+ 14x² x² +18x²+ 9sin x x+cos2x 4x³+18 (3cos x + 2sin x) 5sin x+16x7 8x³+ cosx +13 4x+ 14x²+20 6 x²+11x²¹+26

Ответ:

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2, y=-2, x=3, x=0:

   Функция постоянна, поэтому площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Ширина равна 3-0=3, высота равна 2-(-2)=4.

   S = 3 * 4 = 12

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, x=3, y=0:

   Это площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3. Площадь равна половине произведения катетов.

   S = 0.5 * 3 * 3 = 4.5

3. Площадь фигуры, ограниченной f(x) = x², y = 0, x = 1, x = 2:

   Необходимо вычислить интеграл функции x² от 1 до 2.

   \[\int_1^2 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\]

   S = 7/3

4. Площадь фигуры, ограниченной y = cosx, x = -π/2, x = π/2:

   Необходимо вычислить интеграл функции cosx от -π/2 до π/2.

   \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} cos(x) dx = sin(x) \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = sin(\frac{\pi}{2}) - sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2\]

   S = 2

5. Площадь фигуры, ограниченной y = sinx + 2, y = -1, x = 0, x = π:

   Необходимо вычислить интеграл функции sinx + 2 - (-1) = sinx + 3 от 0 до π.

   \[\int_0^{\pi} (sin(x) + 3) dx = -cos(x) + 3x \Big|_0^{\pi} = (-cos(\pi) + 3\pi) - (-cos(0) + 3 \cdot 0) = (-(-1) + 3\pi) - (-1 + 0) = 1 + 3\pi + 1 = 2 + 3\pi\]

   S = 2 + 3π

Первообразные функций:

1. f(x) = cos x - 5sin x + 14x²

   F(x) = sin x + 5cos x + (14/3)x³ + C

2. f(x) = x² + 18x² + 9sin x = 19x² + 9sin x

   F(x) = (19/3)x³ - 9cos x + C

3. f(x) = x + cos2x

   F(x) = (1/2)x² + (1/2)sin2x + C

4. f(x) = 4x³ + 18

   F(x) = x⁴ + 18x + C

5. f(x) = 3cos x + 2sin x

   F(x) = 3sin x - 2cos x + C

6. f(x) = 5sin x + 16x⁷

   F(x) = -5cos x + 2x⁸ + C

7. f(x) = 8x³ + cosx + 13

   F(x) = 2x⁴ + sin x + 13x + C

8. f(x) = 4x + 14x² + 20

   F(x) = 2x² + (14/3)x³ + 20x + C

9. f(x) = 6x² + 11x²¹ + 26

   F(x) = 2x³ + (1/2)x²² + 26x + C

Ответ: