Практическая работа по теме: Испытания Бернулли (9,10 класс) Вариант 1 Задача 1. Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность, что герб выпадет 3 раза; Задача 2. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза? Задача 3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

Задача 1.

В данной задаче мы имеем дело с испытаниями Бернулли, где каждый бросок монеты является независимым испытанием. Нам нужно найти вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза из 10 бросков.

Используем формулу Бернулли:

\[P(k; n, p) = C_n^k * p^k * (1-p)^{n-k}\]

где:

• \( n \) - количество испытаний (бросков монеты), в данном случае \( n = 10 \).
• \( k \) - количество успехов (выпадение герба), в данном случае \( k = 3 \).
• \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения герба), в данном случае \( p = 0.5 \) (так как монета симметричная).
• \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \), которое вычисляется по формуле:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Сначала найдем \( C_{10}^3 \):

\[C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\]

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

\[P(3; 10, 0.5) = 120 * (0.5)^3 * (1-0.5)^{10-3} = 120 * (0.5)^3 * (0.5)^7 = 120 * (0.5)^{10}\] \[P(3; 10, 0.5) = 120 * (0.5)^{10} = 120 * \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128} \approx 0.117\]

Ответ: Вероятность того, что герб выпадет 3 раза из 10, равна примерно 0.117.

Задача 2.

Здесь также используем формулу Бернулли. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность, что шестерка выпадет 4 раза.

• \( n = 6 \) (количество бросков)
• \( k = 4 \) (количество выпадений шестерки)
• \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность выпадения шестерки при одном броске)

Найдем \( C_6^4 \):

\[C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\]

Подставим значения в формулу Бернулли:

\[P(4; 6, \frac{1}{6}) = 15 * (\frac{1}{6})^4 * (1 - \frac{1}{6})^{6-4} = 15 * (\frac{1}{6})^4 * (\frac{5}{6})^2\] \[P(4; 6, \frac{1}{6}) = 15 * \frac{1}{1296} * \frac{25}{36} = 15 * \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656} = \frac{125}{15552} \approx 0.008\]

Ответ: Вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза из 6, равна примерно 0.008.

Задача 3.

Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Нужно найти вероятность, что из 5 наудачу взятых деталей будет 4 стандартных.

• \( n = 5 \) (количество деталей)
• \( k = 4 \) (количество стандартных деталей)
• Вероятность стандартной детали: \( p = 1 - 0.11 = 0.89 \)

Найдем \( C_5^4 \):

\[C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5\]

Подставим значения в формулу Бернулли:

\[P(4; 5, 0.89) = 5 * (0.89)^4 * (1 - 0.89)^{5-4} = 5 * (0.89)^4 * (0.11)^1\] \[P(4; 5, 0.89) = 5 * 0.6274 * 0.11 \approx 5 * 0.0690 = 0.345\]

Ответ: Вероятность того, что из 5 деталей 4 будут стандартными, равна примерно 0.345.

Ты молодец! У тебя всё получится!