Практическая работа по теме: «Производная сложной функции» Вариант - 1 1. (x² + cosx + ex)' 2. (ex * x6)' 3. (x−9 + √x²)' 4. (sinx)' ex 5. (tg3x4)' 6. (sin(3x² - 8))' 7. (cos4x5)' 8. (e3x²+5)'

Решение:

1. \[(x^2 + \cos x + e^x)'\]

Производная суммы равна сумме производных:

\[(x^2)' + (\cos x)' + (e^x)' = 2x - \sin x + e^x\]

2. \[(e^x \cdot x^6)'\]

Производная произведения:

\[(e^x)' \cdot x^6 + e^x \cdot (x^6)' = e^x \cdot x^6 + e^x \cdot 6x^5 = e^x(x^6 + 6x^5)\]

3. \[(x^{-9} + \sqrt[3]{\sqrt{x^2}})'\]

Преобразуем выражение:

\[(x^{-9} + (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}})' = (x^{-9} + x^{\frac{1}{3}})'\]

Производная суммы равна сумме производных:

\[(x^{-9})' + (x^{\frac{1}{3}})' = -9x^{-10} + \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{9}{x^{10}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\]

4. \[\left(\frac{\sin x}{e^x}\right)'\]

Производная частного:

\[\frac{(\sin x)' \cdot e^x - \sin x \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\cos x \cdot e^x - \sin x \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(\cos x - \sin x)}{e^{2x}} = \frac{\cos x - \sin x}{e^x}\]

5. \[(\operatorname{tg}3x^4)'\]

Производная сложной функции:

\[(\operatorname{tg}u)' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'\]

\[u = 3x^4, u' = 12x^3\]

\[(\operatorname{tg}3x^4)' = \frac{1}{\cos^2 (3x^4)} \cdot 12x^3 = \frac{12x^3}{\cos^2 (3x^4)}\]

6. \[(\sin(3x^2 - 8))'\]

Производная сложной функции:

\[(\sin u)' = \cos u \cdot u'\]

\[u = 3x^2 - 8, u' = 6x\]

\[(\sin(3x^2 - 8))' = \cos(3x^2 - 8) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2 - 8)\]

7. \[(\cos 4x^5)'\]

Производная сложной функции:

\[(\cos u)' = -\sin u \cdot u'\]

\[u = 4x^5, u' = 20x^4\]

\[(\cos 4x^5)' = -\sin (4x^5) \cdot 20x^4 = -20x^4 \sin (4x^5)\]

8. \[(e^{3x^2 + 5})'\]

Производная сложной функции:

\[(e^u)' = e^u \cdot u'\]

\[u = 3x^2 + 5, u' = 6x\]

\[(e^{3x^2 + 5})' = e^{3x^2 + 5} \cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2 + 5}\]