Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПрактическая работа № Тема: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. 1) Перепишите и заполните пропуски: Задание: Пример 1. Найти точку максимума функции у= х³ + 3x² - 24x + 5. Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: (-∞, +∞). Найдем критические точки функции. y'=3x²+6x-24=3·(x²+2x-8), y'=0,x²+2x-8=0. D=2²-4·1-(-8)=4+32=.... x₁ =(-2+6):2=4:2=..., x₂ =(-2-6):2=- 8:2=.. x₁ =2, x₂ =-4. Критические точки. Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками: Ответ: х = ... Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер у= x⁴ - 8x². Решение: у = x⁴ - 8x². D(y)=R. y' = (x⁴ - 8x²)'= 4x³ - 16x, y' = 0 4x³ - 16x = 0, 4x (x² - 4) = 0. 4x (x - 2)(x + 2) = 0. х=0 или х-2=0 или х + 2=0 X= 0. X= 2.:=-2 - это стационарные точки. Функция убывает на (-∞;-2], на [0; 2]. Функция возрастает на [ - 2: 0]. на [2; +∞). Ответ: х₁ = -2, x₂ = 2- это точки минимума, х₁=0 - это точка максимума. Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер: у= х³/3 - 5/2x² + 6x – 1. Решение: у = х³/3 - 5/2x² + 6x – 1. D(y)=R. y'=(х³/3 - 5/2x² + 6x – 1)' = x² - 5x + 6 = (x-3)(x-2), y'=0, x²- 5x + 6 = 0, Х₁=3. х₂=2 - это стационарные точки. Функция возрастает на (-∞; 2], на [3; +∞). Функция убывает на [2; 3]. Ответ: х₂ = 2 - это точка максимума, х₁ = 3 - это точка минимума. Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер. y= 2x⁵ + 5x⁴ - 10x³ +3. Решение: у = 2x⁵ + 5x⁴ -10x³ + 3, D(y) = R, y' = (2x⁵ + 5x⁴ - 10x³ + 3)' = 2·5x⁴ +5·4x³-10·3x² = = 10x⁴ + 20x³ - 30x² = 10x² (x² + 2x - 3) = 0, х²=0 или x²+2x-3=0, x₁ = 0, X₂ = 1, X₃ = -3- это стационарные точки. Функция возрастает на (-∞; -3], на [1; +∞). Функция убывает на [ – 3; 1]. Ответ: Х₃ = -3 это точка максимума, х₂ = 1 это точка минимума.
Ответ:
Краткое пояснение
Практическая работа №
Тема: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Задание:
Пример 1. Найти точку максимума функции \(y = x^3 + 3x^2 - 24x + 5\).
Решение:
Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус.
Область определения функции: \((-\infty; +\infty)\).
Найдем критические точки функции:
\[y' = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x^2 + 2x - 8)\]
\[y' = 0, x^2 + 2x - 8 = 0\]
\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]
\[x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
\[x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]
\[x_1 = 2, \quad x_2 = -4\] - критические точки.
Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:
\[x = -4\] - точка max
\[x = 2\] - точка min
Ответ: \(x = -4\)
Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер \(y = x^4 - 8x^2\).
Решение:
\[y = x^4 - 8x^2\]
\[D(y) = R\]
\[y' = (x^4 - 8x^2)' = 4x^3 - 16x\]
\[y' = 0\]
\[4x^3 - 16x = 0\]
\[4x(x^2 - 4) = 0\]
\[4x(x - 2)(x + 2) = 0\]
\[x = 0\], или \(x - 2 = 0\), или \(x + 2 = 0\)
\[x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -2\] - это стационарные точки.
\[x_1 = -2\] - это точка минимума.
\[x_2 = 2\] - это точка минимума.
\[x_3 = 0\] - это точка максимума.
\[x \in (-\infty; -2]\) - функция убывает
\[x \in [0; 2]\) - функция убывает
\[x \in [-2; 0]\) - функция возрастает
\[x \in [2; +\infty)\) - функция возрастает
Ответ: \(x_1 = -2, \quad x_2 = 2\) - это точки минимума, \(x_3 = 0\) - это точка максимума.
Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер: \(y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1\).
Решение:
\[y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1\]
\[D(y) = R\]
\[y' = (\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1)' = x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\]
\[y' = 0, \quad x^2 - 5x + 6 = 0\]
\[x_1 = 3, \quad x_2 = 2\] - это стационарные точки.
\[x \in (-\infty; 2]\) - функция возрастает
\[x \in [3; +\infty)\) - функция возрастает
\[x \in [2; 3]\) - функция убывает
\[x_2 = 2\] - это точка максимума.
\[x_1 = 3\] - это точка минимума.
Ответ: \(x_2 = 2\) - это точка максимума, \(x_1 = 3\) - это точка минимума.
Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.
\[y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3\]
Решение:
\[y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3\]
\[D(y) = R\]
\[y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)' = 2 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 4x^3 - 10 \cdot 3x^2 = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 10x^2(x^2 + 2x - 3)\]
\[y' = 0, \quad 10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0\]
\[x = 0\], или \(x^2 + 2x - 3 = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -3\] - это стационарные точки.
\[x \in (-\infty; -3]\) - функция возрастает.
\[x \in [1; +\infty)\) - функция возрастает.
\[x \in [-3; 1]\) - функция убывает.
\[x_3 = -3\] - это точка максимума.
\[x_2 = 1\] - это точка минимума.
Ответ: \(x_3 = -3\) - это точка максимума, \(x_2 = 1\) - это точка минимума.
Проверка за 10 секунд: Найдите производную функции, приравняйте её к нулю, найдите корни уравнения. Исследуйте знаки производной на интервалах, чтобы определить точки экстремума.
Уровень Эксперт: Для более сложных функций можно использовать вторую производную для определения характера точек экстремума: если вторая производная положительна, то это минимум, если отрицательна - максимум.
