Контрольные задания > Практическая работа «Вычисление производных. Таблица производных» Цель: сформировать и закрепить навыки вычисления производных элементарных функций с использованием таблицы производных и правил дифференцирования. Используя правила и формулы дифференцирования, выполни задание Найдите производную функции 3 1) y=x²+2x²; 2) y =10x+3√x; 3) y=-x+7x x ; 4) y=tgx+3; 5) y= x²+13x¹°+12; 6) y=(x²+3)⋅(x-1); 7) y=(x³ +1) √x ; 8) y=x²⋅cosx; 9) y=(1+8)⋅(5x-2) x 4x-7 y= 10) 2x+1; 11) 4 y=2x²+5; 12) 5 sin x y =sinx x y= x ;
Вопрос:

Практическая работа «Вычисление производных. Таблица производных» Цель: сформировать и закрепить навыки вычисления производных элементарных функций с использованием таблицы производных и правил дифференцирования. Используя правила и формулы дифференцирования, выполни задание Найдите производную функции 3 1) y=x²+2x²; 2) y =10x+3√x; 3) y=-x+7x x ; 4) y=tgx+3; 5) y= x²+13x¹°+12; 6) y=(x²+3)⋅(x-1); 7) y=(x³ +1) √x ; 8) y=x²⋅cosx; 9) y=(1+8)⋅(5x-2) x 4x-7 y= 10) 2x+1; 11) 4 y=2x²+5; 12) 5 sin x y =sinx x y= x ;

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения задач необходимо использовать таблицу производных и правила дифференцирования.

1) \(y = x^3 + 2x^2\)

  • Находим производную: \(y' = (x^3)' + 2(x^2)'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
  • \(y' = 3x^2 + 2 \cdot 2x = 3x^2 + 4x\)

Ответ: \(y' = 3x^2 + 4x\)

2) \(y = 10x + 3\sqrt{x}\)

  • Преобразуем корень: \(y = 10x + 3x^{\frac{1}{2}}\)
  • Находим производную: \(y' = 10(x)' + 3(x^{\frac{1}{2}})'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
  • \(y' = 10 + 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = 10 + \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

Ответ: \(y' = 10 + \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

3) \(y = \frac{3}{x} + 7x\)

  • Преобразуем дробь: \(y = 3x^{-1} + 7x\)
  • Находим производную: \(y' = 3(x^{-1})' + 7(x)'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
  • \(y' = 3 \cdot (-1)x^{-2} + 7 = -\frac{3}{x^2} + 7\)

Ответ: \(y' = -\frac{3}{x^2} + 7\)

4) \(y = \operatorname{tg} x + 3\)

  • Находим производную: \(y' = (\operatorname{tg} x)' + (3)'\)
  • Применяем правило: \((\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\), \((c)' = 0\)
  • \(y' = \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = \frac{1}{\cos^2 x}\)

Ответ: \(y' = \frac{1}{\cos^2 x}\)

5) \(y = x^2 + 13x^{10} + 12\)

  • Находим производную: \(y' = (x^2)' + 13(x^{10})' + (12)'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\), \((c)' = 0\)
  • \(y' = 2x + 13 \cdot 10x^9 + 0 = 2x + 130x^9\)

Ответ: \(y' = 2x + 130x^9\)

6) \(y = (x^2 + 3)(x - 1)\)

  • Раскрываем скобки: \(y = x^3 - x^2 + 3x - 3\)
  • Находим производную: \(y' = (x^3)' - (x^2)' + 3(x)' - (3)'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\), \((c)' = 0\)
  • \(y' = 3x^2 - 2x + 3\)

Ответ: \(y' = 3x^2 - 2x + 3\)

7) \(y = (x^3 + 1)\sqrt{x}\)

  • Преобразуем корень: \(y = (x^3 + 1)x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}} + x^{\frac{1}{2}}\)
  • Находим производную: \(y' = (x^{\frac{7}{2}})' + (x^{\frac{1}{2}})'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
  • \(y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Ответ: \(y' = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

8) \(y = x^2 \cdot \cos x\)

  • Находим производную, используя правило произведения: \(y' = (x^2)'\cos x + x^2(\cos x)'\)
  • Применяем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\cos x)' = -\sin x\)
  • \(y' = 2x \cos x - x^2 \sin x\)

Ответ: \(y' = 2x \cos x - x^2 \sin x\)

9) \(y = \frac{\frac{1}{x} + 8}{5x - 2}\)

  • Находим производную, используя правило частного: \(y' = \frac{(\frac{1}{x} + 8)'(5x - 2) - (\frac{1}{x} + 8)(5x - 2)'}{(5x - 2)^2}\)
  • \(y' = \frac{(-\frac{1}{x^2})(5x - 2) - (\frac{1}{x} + 8)(5)}{(5x - 2)^2}\)
  • \(y' = \frac{-\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} - 5 - 40}{(5x - 2)^2}\)
  • \(y' = \frac{\frac{-5x^2 - 5x^2 + 2 - 40x^2}{x^2}}{(5x-2)^2}\)
  • \(y' = \frac{-50x - 5x^2 + 2}{x^2(5x - 2)^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{-5x^2 - 50x + 2}{x^2(5x - 2)^2}\)

10) \(y = \frac{4x - 7}{2x + 1}\)

  • Находим производную, используя правило частного: \(y' = \frac{(4x - 7)'(2x + 1) - (4x - 7)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2}\)
  • \(y' = \frac{4(2x + 1) - (4x - 7)(2)}{(2x + 1)^2}\)
  • \(y' = \frac{8x + 4 - 8x + 14}{(2x + 1)^2}\)
  • \(y' = \frac{18}{(2x + 1)^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{18}{(2x + 1)^2}\)

11) \(y = \frac{x^4}{2x^2 + 5}\)

  • Находим производную, используя правило частного: \(y' = \frac{(x^4)'(2x^2 + 5) - (x^4)(2x^2 + 5)'}{(2x^2 + 5)^2}\)
  • \(y' = \frac{4x^3(2x^2 + 5) - (x^4)(4x)}{(2x^2 + 5)^2}\)
  • \(y' = \frac{8x^5 + 20x^3 - 4x^5}{(2x^2 + 5)^2}\)
  • \(y' = \frac{4x^5 + 20x^3}{(2x^2 + 5)^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{4x^5 + 20x^3}{(2x^2 + 5)^2}\)

12) \(y = \frac{\sin x}{5\sin x}\)

  • Сокращаем дробь: \(y = \frac{1}{5}\)
  • Находим производную: \(y' = (\frac{1}{5})' = 0\)

Ответ: \(y' = 0\)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю