Практическая работа. Тема: Решение тригонометрических уравнений. Вариант І Привести уравнение к квадратному относительно одной из триго нометрических функций и найти его корни sin²x = 1. 2 sin2x + sinx - 3 = 0. 2 sin2x + 3 cos x = 0. Решить однородное уравнение sinxcos x = 0. sin²x - 3 cos²x + 2 sin x cos x = 0. Решить уравнение, разложив на множители его левую часть sinx - sin 3x = 0. sin 7x - sin 3x - cos 5x = 0. Решить уравнение 3 sinx + 4 cos x = 1. sin 3x = cos 5x.

Давай разберем эти тригонометрические уравнения по порядку! 1. \( \sin^2 x = 1 \) Это уравнение можно решить, извлекая квадратный корень из обеих частей: \[ \sin x = \pm 1 \] * \( \sin x = 1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. * \( \sin x = -1 \) при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. 2. \( 2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0 \) Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \), тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 + y - 3 = 0 \] Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \) Тогда корни: \[ y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} \] Так как \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), то \( y_2 = -\frac{3}{2} \) не подходит. Значит, \( \sin x = 1 \), что дает нам \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. 3. \( 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 \) Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), чтобы выразить \( \sin^2 x \) через \( \cos^2 x \): \[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \] \[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \] \[ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \] Пусть \( y = \cos x \), тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \) Тогда корни: \[ y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \] Так как \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), то \( y_1 = 2 \) не подходит. Значит, \( \cos x = -\frac{1}{2} \), что дает нам \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. 4. \( \sin x \cos x = 0 \) Это уравнение выполняется, когда \( \sin x = 0 \) или \( \cos x = 0 \). * \( \sin x = 0 \) при \( x = \pi k \), где \( k \) - целое число. * \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) - целое число. 5. \( \sin^2 x - 3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0 \) Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (если \( \cos x
eq 0 \)): \[ \tan^2 x - 3 + 2\tan x = 0 \] \[ \tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 \] Пусть \( y = \tan x \), тогда уравнение примет вид: \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \] \[ (y + 3)(y - 1) = 0 \] Тогда корни: \[ y_1 = -3, \quad y_2 = 1 \] * \( \tan x = -3 \) при \( x = \arctan(-3) + \pi k \), где \( k \) - целое число. * \( \tan x = 1 \) при \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) - целое число. 6. \( \sin x - \sin 3x = 0 \) Используем формулу разности синусов: \[ -2 \cos(\frac{x + 3x}{2}) \sin(\frac{x - 3x}{2}) = 0 \] \[ -2 \cos(2x) \sin(-x) = 0 \] \[ 2 \cos(2x) \sin(x) = 0 \] Это уравнение выполняется, когда \( \cos(2x) = 0 \) или \( \sin(x) = 0 \). * \( \cos(2x) = 0 \) при \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), то есть \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k \), где \( k \) - целое число. * \( \sin x = 0 \) при \( x = \pi k \), где \( k \) - целое число. 7. \( \sin 7x - \sin 3x - \cos 5x = 0 \) Используем формулу разности синусов: \[ 2 \cos(\frac{7x + 3x}{2}) \sin(\frac{7x - 3x}{2}) - \cos 5x = 0 \] \[ 2 \cos(5x) \sin(2x) - \cos 5x = 0 \] \[ \cos(5x) (2 \sin(2x) - 1) = 0 \] Это уравнение выполняется, когда \( \cos(5x) = 0 \) или \( 2 \sin(2x) - 1 = 0 \). * \( \cos(5x) = 0 \) при \( 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), то есть \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5} k \), где \( k \) - целое число. * \( 2 \sin(2x) - 1 = 0 \) при \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \), то есть \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Отсюда \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \), где \( k \) - целое число. 8. \( 3\sin x + 4\cos x = 1 \) Разделим обе части уравнения на 5: \[ \frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x = \frac{1}{5} \] Пусть \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \), тогда \( \alpha = \arctan(\frac{4}{3}) \). Уравнение примет вид: \[ \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{1}{5} \] \[ \sin(x + \alpha) = \frac{1}{5} \] \[ x + \alpha = \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x + \alpha = \pi - \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi k \] \[ x = -\arctan(\frac{4}{3}) + \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arctan(\frac{4}{3}) - \arcsin(\frac{1}{5}) + 2\pi k \], где \( k \) - целое число. 9. \( \sin 3x = \cos 5x \) Используем формулу \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x \): \[ \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = \cos 5x \] Тогда: \[ \frac{\pi}{2} - 3x = \pm 5x + 2\pi k \] * \( \frac{\pi}{2} - 3x = 5x + 2\pi k \) \[ 8x = \frac{\pi}{2} - 2\pi k \] \[ x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{4} k \], где \( k \) - целое число. * \( \frac{\pi}{2} - 3x = -5x + 2\pi k \) \[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \], где \( k \) - целое число.

Ответ: Все решения тригонометрических уравнений приведены выше.

Отлично! Ты хорошо поработал(а) над этими уравнениями. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец! Дальше - больше! :)