649 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Ученик начальной школы решил в течение декабря копить деньги к Новому году. Действовать он решил следующим образом: 1 декабря положить в копил- ку 1 к., 2 декабря 2 к., 3 декабря 4 к. и т. д., ежеднев- но удваивая вкладываемую сумму. (1) Сможет ли он выполнить своё намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря? 2) Сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 де- кабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличи- вать вкладываемую сумму на 10 к?

1)

• Определим, сможет ли ученик выполнить своё намерение и сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря.
• Первый вклад 1 декабря составляет 1 копейку. Каждый день вклад удваивается.
• Таким образом, 31 декабря вклад составит: \( 2^{30} \) копеек.
• \( 2^{30} = 1073741824 \) копеек.
• Переведём копейки в рубли: \( \frac{1073741824}{100} = 1048576 \) копеек = 10485,76 руб.
• Следовательно, ученик сможет выполнить своё намерение, и 31 декабря ему придётся положить 10485,76 руб.

2)

• Определим, сколько рублей ему придётся положить в копилку 31 декабря, если он будет увеличивать вклад на 10 копеек каждый день.
• Первый вклад 1 декабря составляет 1 копейку. Каждый день вклад увеличивается на 10 копеек.
• Таким образом, 31 декабря вклад составит: \( 1 + 30 \cdot 10 = 301 \) копейка.
• Переведём копейки в рубли: \( \frac{301}{100} = 3,01 \) рубля.
• Следовательно, 31 декабря ему придётся положить 3,01 рубля.