Практическое задание к разделу 8. Решите задачи, оформите решения: укажите дано, перевод единиц измерения в систему СИ (при необходимости), решение с выводом общей формулы, подстановкой, расчетами, ответ. Решения напишите от руки. Задача 1. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы тока в ней имеет вид: i = 0,4 cos (2 x 10^3 t), где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду напряжения на катушке. Задача 2. Колебательный контур радиоприёмника содержит конденсатор, ёмкость которого 10 нФ. Какой должна быть индуктивность контура, чтобы обеспечить приём волны длиной 300 м?

Решение задачи 1:

Дано:

• Индуктивность катушки \( L = 0,125 \) Гн
• Уравнение силы тока \( i = 0,4 \cos(2 \times 10^3 t) \) А

Найти:

• Амплитуда напряжения \( U_m \)

Решение:

1. Амплитуда силы тока \( I_m = 0,4 \) А.
2. Угловая частота \( \omega = 2 \times 10^3 \) рад/с.
3. Напряжение на катушке определяется формулой \( u = L \frac{di}{dt} \).
4. Найдем производную силы тока: \( \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(0,4 \cos(2 \times 10^3 t)) = 0,4 \cdot (-\sin(2 \times 10^3 t)) \cdot (2 \times 10^3) = -0,8 \times 10^3 \sin(2 \times 10^3 t) \) А/с.
5. Подставим в формулу напряжения: \( u = 0,125 \cdot (-0,8 \times 10^3 \sin(2 \times 10^3 t)) \) В.
6. \( u = -100 \sin(2 \times 10^3 t) \) В.
7. Амплитуда напряжения — это максимальное значение напряжения, которое равно \( 100 \) В.

Ответ: Амплитуда напряжения на катушке равна 100 В.

Решение задачи 2:

Дано:

• Длина волны \( \lambda = 300 \) м
• Ёмкость конденсатора \( C = 10 \) нФ = \( 10 \times 10^{-9} \) Ф

Найти:

• Индуктивность контура \( L \)

Решение:

1. Длина волны связана с частотой и скоростью света формулой \( \lambda = cT = \frac{c}{\nu} \), где \( c \) — скорость света (примем \( c \approx 3 \times 10^8 \) м/с), \( T \) — период, \( \nu \) — частота.
2. Найдем частоту колебаний: \( \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{300} = 10^6 \) Гц.
3. Период колебаний: \( T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6} \) с.
4. Для колебательного контура справедлив закон Томсона: период колебаний \( T = 2\pi \sqrt{LC} \).
5. Выразим индуктивность \( L \): \( T^2 = 4\pi^2 LC \) \( \Rightarrow L = \frac{T^2}{4\pi^2 C} \).
6. Подставим значения: \( L = \frac{(10^{-6})^2}{4\pi^2 \cdot 10 \times 10^{-9}} = \frac{10^{-12}}{4\pi^2 \cdot 10^{-8}} = \frac{10^{-4}}{4\pi^2} \) Гн.
7. Примем \( \pi^2 \approx 10 \), тогда \( L \approx \frac{10^{-4}}{4 \times 10} = \frac{10^{-4}}{40} = 0,025 \times 10^{-4} = 2,5 \times 10^{-6} \) Гн = \( 2,5 \) мкГн.
8. Если использовать \( \pi \approx 3,14 \) то \( \pi^2 \approx 9,86 \).
9. \( L = \frac{10^{-12}}{4 \times 9,86 \times 10^{-8}} = \frac{10^{-4}}{39,44} \) Гн \( \approx 0,02535 \times 10^{-4} \) Гн \( \approx 2,535 \times 10^{-6} \) Гн = \( 2,535 \) мкГн.

Ответ: Индуктивность контура должна быть примерно 2,5 мкГн.