Практическое занятие №12. Свойства корня n-ой степени. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задание №1. Найдите значение числового выражения: a) ∛8 · 27; б) ⁴√16 · 0,0001;

Решение:

Для решения воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \).

а) \( \sqrt[3]{8 \cdot 27} \)

1. Разложим числа под корнем на множители: \( 8 = 2^3 \) и \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим в выражение: \( \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} \).
3. Используем свойство корня: \( \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} \).
4. Вычислим корни: \( 2 \cdot 3 \).
5. Получим результат: \( 6 \).

б) \( \sqrt[4]{16 \cdot 0,0001} \)

1. Представим числа в виде степеней: \( 16 = 2^4 \) и \( 0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} \).
2. Подставим в выражение: \( \sqrt[4]{2^4 \cdot 10^{-4}} \).
3. Используем свойство корня: \( \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10^{-4}} \).
4. Вычислим корни: \( 2 \cdot 10^{-1} \).
5. Запишем десятичной дробью: \( 2 \cdot 0,1 \).
6. Получим результат: \( 0,2 \).

Ответ: а) 6; б) 0,2.