Практическое занятие №28. Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Задание №1. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ имеют следующие значения: AD = 8 см, АВ = 9 см и АА₁ = 12 см. Найдите длины векторов: a) CC₁, CB, CD; б) DC₁, DB, DB₁.

Решение:

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

AD = 8 см, AB = 9 см, AA₁ = 12 см.

Найти длины векторов: a) \( \vec{CC_1} \), \( \vec{CB} \), \( \vec{CD} \); б) \( \vec{DC_1} \), \( \vec{DB} \), \( \vec{DB_1} \).

В прямоугольном параллелепипеде:

• Длина вектора \( \vec{CC_1} \) равна длине ребра CC₁, которое равно AA₁.
• Длина вектора \( \vec{CB} \) равна длине ребра CB, которое равно AD.
• Длина вектора \( \vec{CD} \) равна длине ребра CD, которое равно AB.

а) Длины векторов:

• \( |\vec{CC_1}| = AA_1 = 12 \) см.
• \( |\vec{CB}| = AD = 8 \) см.
• \( |\vec{CD}| = AB = 9 \) см.

Для нахождения длин векторов \( \vec{DC_1} \), \( \vec{DB} \), \( \vec{DB_1} \) используем теорему Пифагора.

• Вектор \( \vec{DB} \) является диагональю грани ABCD.
• Вектор \( \vec{DC_1} \) является диагональю грани DCC₁D₁.
• Вектор \( \vec{DB_1} \) является пространственной диагональю параллелепипеда.

б) Длины векторов:

• \( |\vec{DB}| = \sqrt{CD^2 + CB^2} = \sqrt{9^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145} \) см.
• \( |\vec{DC_1}| = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \) см.
• \( |\vec{DB_1}| = \sqrt{DB^2 + BB_1^2} = \sqrt{(\sqrt{145})^2 + 12^2} = \sqrt{145 + 144} = \sqrt{289} = 17 \) см.

Ответ: a) |CC₁| = 12 см, |CB| = 8 см, |CD| = 9 см; б) |DC₁| = 15 см, |DB| = \(\sqrt{145}\) см, |DB₁| = 17 см.