Правая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) $2^{5x-4}=16$; 2) $\left(\frac{16}{9}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^5$; 3) $3^{x+1}+2\cdot3^{x+2}=21$; 4) $2^{2x}-3\cdot2^x-4=0$; 5) $5^{x-1}<25$; 6) $0{,}3^{x^2-4}\ge1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Правая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) $2^{5x-4}=16$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $16=2^4$, имеем $2^{5x-4}=2^4$. Следовательно, $5x-4=4$, откуда $x=\frac85$.
Поскольку $\frac{16}{9}=\left(\frac43\right)^2$ и $\frac34=\left(\frac43\right)^{-1}$, получаем $\left(\frac43\right)^{2x}=\left(\frac43\right)^{-5}$. Тогда $2x=-5$, поэтому $x=-\frac52$.
Вынесем $3^{x+1}$: $3^{x+1}+2\cdot3^{x+2}=3^{x+1}(1+6)=21$. Значит, $3^{x+1}=3$, откуда $x=0$.
Положим $t=2^x$, где $t>0$. Тогда $t^2-3t-4=0$, то есть $(t-4)(t+1)=0$. С учётом $t>0$ получаем $t=4$, следовательно, $x=2$.
Запишем $25=5^2$. Тогда $5^{x-1}<5^2$, значит, $x-1<2$, откуда $x<3$.
Так как $0<0{,}3<1$, неравенство выполняется, когда показатель не положителен: $x^2-4\le0$. Значит, $x^2\le4$, то есть $-2\le x\le2$.

Ответ: 1) $x=\frac85$; 2) $x=-\frac52$; 3) $x=0$; 4) $x=2$; 5) $x<3$; 6) $x\in[-2;2]$.

Правая часть доски. Решить уравнения и неравенства: 1) \(2^{5x-4}=16\); 2) \(\left(\frac{16}{9}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^5\); 3) \(3^{x+1}+2\cdot3^{x+2}=21\); 4) \(2^{2x}-3\cdot2^x-4=0\); 5) \(5^{x-1}<25\); 6) \(0{,}3^{x^2-4}\ge1\).