Правильная пирамида Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если её высота равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 30°. Введите целое число или десятичную дробь...

Решение:

Для нахождения объёма правильной четырёхугольной пирамиды используется формула:

V = (1/3) * S_осн * h

где V - объём, S_осн - площадь основания, h - высота.

Нам известна высота (h = 4) и угол между боковой гранью и основанием (30°).

1. Находим апофему (высоту боковой грани):

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности основания (r), тангенс угла 30° равен отношению высоты к радиусу:

tg(30°) = h / r

\( r = \frac{h}{tg(30°)} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \)

2. Находим сторону основания (a):

В правильной четырёхугольной пирамиде радиус вписанной окружности равен половине стороны основания:

r = a / 2

\( a = 2r = 2 * 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)

3. Находим площадь основания (S_осн):

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S_осн = a² = (8\sqrt{3})² = 64 * 3 = 192

4. Находим объём пирамиды (V):

V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * 192 * 4 = 64 * 4 = 256

Ответ: 256