Правильная пирамида. ЗАДАЧА 1. Высота пирамиды равна 10 см; сторона основания равна 8 см. Найти: а) SA SAO, SABO, Son, Sun

Решение:

1) Рассмотрим основание пирамиды – квадрат ABCD. Пусть O – центр основания, тогда AO – половина диагонали AC. Диагональ квадрата можно найти по формуле: \[AC = a\sqrt{2}\] где a – сторона квадрата. В нашем случае a = 8 см, следовательно:

\[AC = 8\sqrt{2}\]

Тогда:

\[AO = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\]

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO, где SO – высота пирамиды (10 см), AO = \[4\sqrt{2}\] см, и SA – боковое ребро, которое нужно найти. По теореме Пифагора:

\[SA^2 = SO^2 + AO^2\] \[SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 32} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}\]

Значит:

\[SA = 2\sqrt{33}\] см

3) Найдем угол SAO. В прямоугольном треугольнике SAO:

\[tg \angle SAO = \frac{SO}{AO} = \frac{10}{4\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}\]

Тогда:

\[\angle SAO = arctg(\frac{5\sqrt{2}}{4})\]

4) Рассмотрим треугольник SAB. SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, высота, опущенная из вершины S на сторону AB, является медианой и биссектрисой. Обозначим эту точку за M. Тогда треугольник SOM – прямоугольный, и SM – высота треугольника SAB.

Найдем AM, которая является половиной стороны квадрата:

\[AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\] см

5) По теореме Пифагора из треугольника SOM:

\[SM = \sqrt{SO^2 + OM^2}\]

OM – половина стороны квадрата, то есть OM = 4 см:

\[SM = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\]

6) Теперь рассмотрим треугольник SAB. Площадь треугольника можно найти как:

\[S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{29} = 8\sqrt{29}\]

7) Чтобы найти угол SABO, нужно рассмотреть треугольник ABO. Угол ABO равен 45 градусам, так как диагонали квадрата делят углы пополам.

В треугольнике SABO угол SABO - это угол между SA и AB. Так как SAB - равнобедренный треугольник, высота SM является медианой и биссектрисой, то угол ASM равен половине угла ASB.

8) Найдем угол ASB. В треугольнике ASB:

\[sin(\frac{\angle ASB}{2}) = \frac{AM}{SA} = \frac{4}{2\sqrt{33}} = \frac{2}{\sqrt{33}}\]

Тогда:

\[\frac{\angle ASB}{2} = arcsin(\frac{2}{\sqrt{33}})\] \[\angle ASB = 2 \cdot arcsin(\frac{2}{\sqrt{33}})\]

Так как высота SO перпендикулярна основанию, угол SAO можно найти через тангенс угла SAO, как было найдено ранее:

\[tg(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{10}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}\] \[\angle SABO \approx 45^{\circ}\]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней. В правильной пирамиде все боковые грани – равные треугольники. Так как у нас 4 грани:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{SAB} = 4 \cdot 8\sqrt{29} = 32\sqrt{29}\]

9) Площадь основания пирамиды (квадрата):

\[S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64\]

10) Полная площадь поверхности пирамиды:

\[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 32\sqrt{29} + 64\]

Ответ: \[SA = 2\sqrt{33}\] см, \[\angle SAO = arctg(\frac{5\sqrt{2}}{4})\] , \[\angle SABO \approx 45^{\circ}\] , \[S_{бок} = 32\sqrt{29}\] кв. см, \[S_{полн} = 32\sqrt{29} + 64\] кв. см