правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, ысота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский гол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и пло- костью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и снованием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре

Решение:

• а) Боковое ребро пирамиды:

Пусть сторона основания равна \( a \), а высота равна \( H \). В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник. Центр этого треугольника является основанием высоты пирамиды.

Расстояние от центра равностороннего треугольника до вершины равно \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \). Тогда боковое ребро можно найти по теореме Пифагора:

\[l = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}\]

Ответ: \( \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}} \)

• б) Плоский угол при вершине пирамиды:

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя боковыми ребрами и стороной основания. Пусть \( \alpha \) — плоский угол при вершине. Тогда:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a}{2l} = \frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\]\[\alpha = 2\arccos\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right)\]

Ответ: \( 2\arccos\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right) \)

• в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды:

Пусть \( \beta \) — угол между боковым ребром и плоскостью основания. Тогда:

\[\cos(\beta) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{l} = \frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\]\[\beta = \arccos\left(\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right)\]

Ответ: \( \arccos\left(\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right) \)

• г) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды:

Пусть \( \gamma \) — угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Этот угол можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани.

\[\tan(\gamma) = \frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6H}{a\sqrt{3}} = \frac{2H\sqrt{3}}{a}\]\[\gamma = \arctan\left(\frac{2H\sqrt{3}}{a}\right)\]

Ответ: \( \arctan\left(\frac{2H\sqrt{3}}{a}\right) \)

• д) Двугранный угол при боковом ребре:

Этот угол равен углу между двумя плоскостями, содержащими боковые грани. Он равен углу между апофемами боковых граней, проведенными из середины стороны основания.

Двугранный угол \( \delta \) при боковом ребре равен:

\[\delta = 2\arcsin\left(\frac{a}{2l}\right) = 2\arcsin\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right)\]

Ответ: \( 2\arcsin\left(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}\right) \)