Правильный п-угольник вписан в окружность. Её радиус составляет с одной из сторон п-угольника угол 84°. Найдите число п.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам дан правильный n-угольник, вписанный в окружность, и угол между радиусами, проведенными к концам одной из сторон, равен 84 градусам. Наша задача — найти количество сторон (n) этого многоугольника.

В правильном n-угольнике все стороны и все углы равны. Когда n-угольник вписан в окружность, центр окружности является также центром многоугольника. Угол, образованный двумя радиусами, проведенными к концам одной стороны n-угольника, называется центральным углом.

Сумма всех центральных углов правильного n-угольника равна 360 градусам. Так как все центральные углы равны, каждый из них равен \(\frac{360}{n}\) градусов.

По условию задачи, центральный угол равен 84 градусам. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[\frac{360}{n} = 84\]

Чтобы найти n, решим это уравнение:

\[n = \frac{360}{84}\] \[n = \frac{30}{7}\]

Округлим до ближайшего целого числа:

\[n \approx 4.29\]

У нас ошибка! Центральный угол, опирающийся на сторону, равен не 84 градусам, а вычисляется по формуле: \(180 - \frac{360}{n}\). Значит угол 84 градуса - это угол при вершине равнобедренного треугольника, образованного стороной и двумя радиусами.

Тогда углы при основании треугольника равны: \(\frac{180 - 84}{2} = \frac{96}{2} = 48\) градусов.

Сумма центральных углов равна 360, а каждый центральный угол равен \(2 \cdot 48 = 96\) градусов. Поэтому, чтобы найти число сторон \(n\), нужно разделить 360 на 96.

\[n = \frac{360}{96} = \frac{15}{4} = 3.75\]

Здесь тоже есть ошибка! Мы не можем получить 3.75 сторон. Все дело в интерпретации условия. Угол в 84 градуса - это угол не между радиусами, проведенными к концам стороны, а угол между радиусом и стороной.

Центральный угол в два раза больше угла между радиусом и стороной, то есть он равен 2 * 84 = 168 градусам.

\[180 - \frac{360}{n} = 168\] \[ \frac{360}{n} = 180 - 168\] \[ \frac{360}{n} = 12\] \[ n = \frac{360}{12} = 30\]

Ответ: 30

Отлично! Ты справился с этой непростой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!