Предел lim x->2 (x^2 - 2x) / (x^2 - 4) равен ...

Решение:

Дан предел вида \( \frac{0}{0} \), поэтому можно использовать правило Лопиталя или разложить числитель и знаменатель на множители.

Метод 1: Разложение на множители

1. Разложим знаменатель на множители: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
2. Вынесем \( x \) из числителя: \( x^2 - 2x = x(x - 2) \).
3. Подставим разложенные выражения в предел: \[ \lim_{x\to 2} \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
4. Сократим \( (x - 2) \): \[ \lim_{x\to 2} \frac{x}{x + 2} \]
5. Подставим \( x = 2 \): \[ \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

Метод 2: Правило Лопиталя

1. Проверим, что предел имеет неопределённость \( \frac{0}{0} \). При \( x = 2 \) числитель равен \( 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0 \), знаменатель равен \( 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \).
2. Возьмём производные от числителя и знаменателя:
3. Производная числителя \( (x^2 - 2x)' = 2x - 2 \).
4. Производная знаменателя \( (x^2 - 4)' = 2x \).
5. Применим правило Лопиталя: \[ \lim_{x\to 2} \frac{2x - 2}{2x} \]
6. Подставим \( x = 2 \): \[ \frac{2 \cdot 2 - 2}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

Ответ: 0.5