Предмет Геометрия8 Тема Подготовка к контрольной работе

Шаг 1. Повтори теорию к контрольной работе

• Прямоугольный треугольник и его свойства (п.35 стр.75-77).
• Теорема Пифагора и теорема к ней обратная (п. 60-61 стр. 152-155).
• Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике (п.74-75 стр. 181-184): определения, основные тригонометрические формулы, значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.
• Формулы площадей четырехугольников и треугольников.

Шаг 2. Потренируйся применять теорию на практике

1. № 1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, AB=65см, BC=56см. Вычисли синус, косинус, тангенс и котангенс угла B. Вычисли периметр этого треугольника.

2. № 2. Синус острого угла равен . Вычисли остальные тригонометрические функции этого угла.

3. № 3. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, ∠A=50°, AC= 15см. Найди неизвестные элементы треугольника. Вычисли площадь этого треугольника.

4. №3. Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Вычисли периметр и площадь ромба.

5. №4. Вычисли площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 18 см, а боковая сторона 41 см.

Решение задач:

1. Задача 1:

   В прямоугольном треугольнике ABC с ∠C=90°, AB=65см, BC=56см. Вычисли синус, косинус, тангенс и котангенс угла B. Вычисли периметр этого треугольника.

   • Найдем AC по теореме Пифагора: AC = √(AB² - BC²) = √(65² - 56²) = √(4225 - 3136) = √1089 = 33 см.

   • Синус угла B: sin(B) = AC / AB = 33 / 65 ≈ 0.508.

   • Косинус угла B: cos(B) = BC / AB = 56 / 65 ≈ 0.862.

   • Тангенс угла B: tan(B) = AC / BC = 33 / 56 ≈ 0.589.

   • Котангенс угла B: cot(B) = BC / AC = 56 / 33 ≈ 1.697.

   • Периметр треугольника: P = AB + BC + AC = 65 + 56 + 33 = 154 см.

2. Задача 2:

   Синус острого угла равен . Вычисли остальные тригонометрические функции этого угла.

   • Пусть sin(α) = . Тогда cos(α) = √(1 - sin²(α)) = √(1 - ()) = √() = .

   • tan(α) = sin(α) / cos(α) = / = .

   • cot(α) = cos(α) / sin(α) = / = .

3. Задача 3:

   В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, ∠A=50°, AC= 15см. Найди неизвестные элементы треугольника. Вычисли площадь этого треугольника.

   • ∠B = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°.

   • BC = AC * tan(A) = 15 * tan(50°) ≈ 15 * 1.192 ≈ 17.88 см.

   • AB = AC / cos(A) = 15 / cos(50°) ≈ 15 / 0.643 ≈ 23.33 см.

   • Площадь треугольника: S = 0.5 * AC * BC = 0.5 * 15 * 17.88 ≈ 134.1 см².

4. Задача 4:

   Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Вычисли периметр и площадь ромба.

   • Площадь ромба: S = 0.5 * d1 * d2 = 0.5 * 16 * 30 = 240 см².

   • Сторона ромба: a = √((d1/2)² + (d2/2)²) = √((16/2)² + (30/2)²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 см.

   • Периметр ромба: P = 4 * a = 4 * 17 = 68 см.

5. Задача 5:

   Вычисли площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 18 см, а боковая сторона 41 см.

   • Высота треугольника: h = √(41² - (18/2)²) = √(41² - 9²) = √(1681 - 81) = √1600 = 40 см.

   • Площадь треугольника: S = 0.5 * основание * высоту = 0.5 * 18 * 40 = 360 см².