"Предметные компетенции" Задание 6. Начала математического анализа Найдите абсциссу точки минимума функции y=2-2x3+3x2+5 Ответ:

Ответ: 0

1. Шаг 1: Находим производную функции:
\[y' = (2^{-2x^3+3x^2+5})' = 2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot \ln(2) \cdot (-6x^2+6x)\]
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:
\[2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot \ln(2) \cdot (-6x^2+6x) = 0\]

Так как 2^{-2x^3+3x^2+5} > 0 и \(\ln(2) > 0\), то:

\[-6x^2+6x = 0\]
3. Шаг 3: Решаем уравнение:
\[-6x(x-1) = 0\]

Отсюда находим корни:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 1\]
4. Шаг 4: Определяем, какая из точек является точкой минимума. Для этого найдем вторую производную:
\[y'' = (2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot \ln(2) \cdot (-6x^2+6x))'\]

Упростим выражение для удобства:

\[y'' = \ln(2) \cdot ((2^{-2x^3+3x^2+5})' \cdot (-6x^2+6x) + 2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot (-12x+6))\] \[y'' = \ln(2) \cdot (\ln(2) \cdot 2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot (-6x^2+6x)^2 + 2^{-2x^3+3x^2+5} \cdot (-12x+6))\]
5. Шаг 5: Подставляем найденные значения в уравнение второй производной:

Для x = 0:

\[y''(0) = \ln(2) \cdot (\ln(2) \cdot 2^{5} \cdot (0) + 2^{5} \cdot (6)) = \ln(2) \cdot 2^5 \cdot 6 > 0\]

Для x = 1:

\[y''(1) = \ln(2) \cdot (\ln(2) \cdot 2^{6} \cdot (0) + 2^{6} \cdot (-6)) = \ln(2) \cdot 2^6 \cdot (-6) < 0\]

Поскольку y''(0) > 0, точка x = 0 является точкой минимума.

Ответ: 0