Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 м² и номера «люкс» площадью 49 м². Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 м². Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб. в сутки, а номер «люкс» — 4500 руб. в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

Обозначим количество стандартных номеров через \(x\) и количество номеров «люкс» через \(y\).

Площадь, занимаемая стандартными номерами: \(21x\) м².

Площадь, занимаемая номерами «люкс»: \(49y\) м².

Общая площадь, отведенная под номера: \(21x + 49y \le 1099\) м².

Доход от стандартных номеров: \(2000x\) руб.

Доход от номеров «люкс»: \(4500y\) руб.

Цель: максимизировать общий доход \(Z = 2000x + 4500y\).

Рассмотрим два крайних случая, чтобы понять, какие номера выгоднее.

1. Случай 1: Заполняем всю площадь стандартными номерами.
   Площадь одного стандартного номера = 21 м².
   Максимальное количество стандартных номеров: \( \lfloor \frac{1099}{21} \rfloor = 52 \) номера.
   Максимальный доход: \(52 \text{ номера} \times 2000 \text{ руб./номер} = 104000 \text{ руб.} \)
2. Случай 2: Заполняем всю площадь номерами «люкс».
   Площадь одного номера «люкс» = 49 м².
   Максимальное количество номеров «люкс»: \( \lfloor \frac{1099}{49} \rfloor = 22 \) номера.
   Максимальный доход: \(22 \text{ номера} \times 4500 \text{ руб./номер} = 99000 \text{ руб.} \)

Сравним доходность на квадратный метр:

• Стандартный номер: \( \frac{2000 \text{ руб.}}{21 \text{ м}^2} \approx 95.24 \text{ руб./м}^2 \)
• Номер «люкс»: \( \frac{4500 \text{ руб.}}{49 \text{ м}^2} \approx 91.84 \text{ руб./м}^2 \)

Стандартные номера выгоднее с точки зрения дохода на квадратный метр. Однако, мы должны учесть, что мы не можем использовать дробные номера.

Чтобы получить наибольшую сумму, нужно максимально использовать площадь, отдавая предпочтение более доходным номерам.

Рассмотрим комбинации, приближенные к полному использованию площади, но с предпочтением стандартных номеров.

Попробуем разместить как можно больше стандартных номеров, а оставшуюся площадь использовать для люксов.

Максимальное количество стандартных номеров = 52. Площадь = \(52 \times 21 = 1092\) м². Остается \(1099 - 1092 = 7\) м². На эту площадь нельзя разместить люкс.

Попробуем разместить 51 стандартный номер. Площадь = \(51 \times 21 = 1071\) м². Остается \(1099 - 1071 = 28\) м². На эту площадь нельзя разместить люкс.

Попробуем разместить 50 стандартных номеров. Площадь = \(50 \times 21 = 1050\) м². Остается \(1099 - 1050 = 49\) м². На эту площадь можно разместить 1 номер «люкс».

В этом случае: \(50\) стандартных номеров + \(1\) номер «люкс».

Доход = \(50 \times 2000 + 1 \times 4500 = 100000 + 4500 = 104500\) руб.

Рассмотрим другой вариант: максимизировать количество люксов, а остаток использовать для стандартных номеров.

Максимальное количество люксов = 22. Площадь = \(22 \times 49 = 1078\) м². Остается \(1099 - 1078 = 21\) м². На эту площадь можно разместить 1 стандартный номер.

В этом случае: \(22\) номера «люкс» + \(1\) стандартный номер.

Доход = \(22 \times 4500 + 1 \times 2000 = 99000 + 2000 = 101000\) руб.

Рассмотрим случай, когда используется 49 стандартных номеров (близко к 1099/21 = 52.3). Это слишком много. Возьмем 49 стандартных номеров. Площадь = \(49 \times 21 = 1029\) м². Остается \(1099 - 1029 = 70\) м². На эту площадь можно разместить 1 номер «люкс» (49 м²), остается 21 м² (1 стандартный номер). Итого: 49+1+1 = 51 стандартный номер, 1 люкс. Этот вариант уже рассматривался (50 стандартных, 1 люкс).

Рассмотрим вариант с 48 стандартными номерами: \(48 \times 21 = 1008\) м². Остается \(1099 - 1008 = 91\) м². На эту площадь можно разместить 1 номер «люкс» (49 м²), остается \(91 - 49 = 42\) м². На эту площадь можно разместить еще 1 стандартный номер. Итого: 48+1+1 = 49 стандартных номеров, 1 люкс. Стоимость: \(49 \times 2000 + 1 \times 4500 = 98000 + 4500 = 102500\) руб.

Проверим еще комбинации.

Если разместить 45 стандартных номеров: \(45 \times 21 = 945\) м². Остается \(1099 - 945 = 154\) м². На эту площадь можно разместить 3 номера «люкс» (\(3 \times 49 = 147\) м²). Остается \(154 - 147 = 7\) м². Итого: 45 стандартных + 3 люкса. Стоимость: \(45 \times 2000 + 3 \times 4500 = 90000 + 13500 = 103500\) руб.

Если разместить 40 стандартных номеров: \(40 \times 21 = 840\) м². Остается \(1099 - 840 = 259\) м². На эту площадь можно разместить 5 номеров «люкс» (\(5 \times 49 = 245\) м²). Остается \(259 - 245 = 14\) м². Итого: 40 стандартных + 5 люксов. Стоимость: \(40 \times 2000 + 5 \times 4500 = 80000 + 22500 = 102500\) руб.

Рассмотрим вариант, когда мы размещаем 23 номера «люкс»: \(23 \times 49 = 1127\) м². Это больше, чем доступная площадь, поэтому максимум 22 номера «люкс».

Проверим случай с 21 номером «люкс». Площадь = \(21 \times 49 = 1029\) м². Остается \(1099 - 1029 = 70\) м². На эту площадь можно разместить 3 стандартных номера (\(3 \times 21 = 63\) м²). Остается \(70 - 63 = 7\) м². Итого: 21 люкс + 3 стандартных. Стоимость: \(21 \times 4500 + 3 \times 2000 = 94500 + 6000 = 100500\) руб.

Проверим случай с 20 номерами «люкс». Площадь = \(20 \times 49 = 980\) м². Остается \(1099 - 980 = 119\) м². На эту площадь можно разместить 5 стандартных номеров (\(5 \times 21 = 105\) м²). Остается \(119 - 105 = 14\) м². Итого: 20 люксов + 5 стандартных. Стоимость: \(20 \times 4500 + 5 \times 2000 = 90000 + 10000 = 100000\) руб.

Рассмотрим случай, когда мы размещаем 10 номеров «люкс». Площадь = \(10 \times 49 = 490\) м². Остается \(1099 - 490 = 609\) м². На эту площадь можно разместить \(\lfloor \frac{609}{21} \rfloor = 29\) стандартных номеров. Площадь = \(29 \times 21 = 609\) м². Итого: 10 люксов + 29 стандартных. Стоимость: \(10 \times 4500 + 29 \times 2000 = 45000 + 58000 = 103000\) руб.

Наибольшая сумма получается при комбинации 50 стандартных номеров и 1 номера «люкс», что составляет 104500 руб.

Проверим вариант: 52 стандартных номера = 104000 руб.

Проверим вариант: 49 стандартных + 1 люкс = \(49 \times 2000 + 1 \times 4500 = 98000 + 4500 = 102500\) руб.

Проверим вариант: 48 стандартных + 1 люкс = \(48 \times 2000 + 1 \times 4500 = 96000 + 4500 = 100500\) руб.

Вернемся к случаю 50 стандартных номеров и 1 номер «люкс». Площадь = \(50 \times 21 + 1 \times 49 = 1050 + 49 = 1099\) м². Доход = \(50 \times 2000 + 1 \times 4500 = 100000 + 4500 = 104500\) руб.

Проверим вариант 49 стандартных номеров. Площадь = \(49 \times 21 = 1029\) м². Остаток = \(1099 - 1029 = 70\) м². На 70 м² можно разместить 1 номер «люкс» (49 м²), остается 21 м², на который можно разместить 1 стандартный номер. Итого: \(49 + 1 + 1 = 51\) стандартный номер и 1 номер «люкс». Площадь = \(51 \times 21 + 1 \times 49 = 1071 + 49 = 1120\) м². Это больше допустимой площади.

Проверим вариант 49 стандартных номеров. Площадь \(49 \times 21 = 1029\). Остаток \(1099 - 1029 = 70\). На 70 м² можно сделать 1 люкс (49 м²), остаток 21 м². Тогда имеем 49+1=50 стандартных номеров, 1 люкс. Площадь \(50 \times 21 + 1 \times 49 = 1050 + 49 = 1099\) м². Доход \(50 \times 2000 + 1 \times 4500 = 100000 + 4500 = 104500\) руб.

Если взять 48 стандартных номеров. Площадь \(48 \times 21 = 1008\). Остаток \(1099 - 1008 = 91\). На 91 м² можно сделать 1 люкс (49 м²), остаток \(91 - 49 = 42\) м². На 42 м² можно сделать 2 стандартных номера. Итого: 48+2=50 стандартных номеров, 1 люкс. Тот же результат.

Если взять 47 стандартных номеров. Площадь \(47 \times 21 = 987\). Остаток \(1099 - 987 = 112\). На 112 м² можно сделать 2 люкса (\(2 \times 49 = 98\) м²), остаток \(112 - 98 = 14\) м². Итого: 47 стандартных + 2 люкса. Доход \(47 \times 2000 + 2 \times 4500 = 94000 + 9000 = 103000\) руб.

Если взять 46 стандартных номеров. Площадь \(46 \times 21 = 966\). Остаток \(1099 - 966 = 133\). На 133 м² можно сделать 2 люкса (98 м²), остаток \(133 - 98 = 35\) м². Итого: 46 стандартных + 2 люкса. Доход \(46 \times 2000 + 2 \times 4500 = 92000 + 9000 = 101000\) руб.

Если взять 45 стандартных номеров. Площадь \(45 \times 21 = 945\). Остаток \(1099 - 945 = 154\). На 154 м² можно сделать 3 люкса (\(3 \times 49 = 147\) м²), остаток 7 м². Итого: 45 стандартных + 3 люкса. Доход \(45 \times 2000 + 3 \times 4500 = 90000 + 13500 = 103500\) руб.

Случай 104500 руб. является максимальным.

Ответ: 104500