Представь выражение в виде дроби. Запиши числитель получившейся дроби без скобок и пробелов. (b^2 + 7b) / (b^3 + 8) - (b - 2) / (b^2 - 2b + 4)

Разбираем задание

Нам нужно вычесть две дроби и записать числитель результата. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Сначала разложим знаменатели на множители:

1. Знаменатель первой дроби: \( b^3 + 8 \) — это сумма кубов. По формуле \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \), получаем: \( b^3 + 8 = (b+2)(b^2 - 2b + 4) \).
2. Знаменатель второй дроби: \( b^2 - 2b + 4 \) — это уже разложенный множитель из первого знаменателя.

Теперь у нас есть общий знаменатель \( (b+2)(b^2 - 2b + 4) \).

Приведем первую дробь к общему знаменателю: она уже имеет часть общего знаменателя, не хватает множителя \( (b+2) \). Умножаем числитель и знаменатель на \( (b+2) \).

$$ \frac{b^2 + 7b}{b^3 + 8} = \frac{b^2 + 7b}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} $$

Умножим числитель второй дроби на \( (b+2) \):

$$ (b - 2)(b + 2) = b^2 - 4 $$ (разность квадратов).

Теперь вычтем дроби:

$$ \frac{b^2 + 7b}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} - \frac{b^2 - 4}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{(b^2 + 7b) - (b^2 - 4)}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ b^2 + 7b - b^2 + 4 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (b^2 - b^2) + 7b + 4 = 7b + 4 $$

Получили дробь:

$$ \frac{7b + 4}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)} $$

Нам нужно записать числитель получившейся дроби без скобок и пробелов.

Ответ: 7b + 4