1. Представить в виде многочлена: a) (b-5)(b-4) - 36(2b - 3); 6) 3x(x - 2)(x-3)2; в) 5(а + 1)² - 10a. 2. Разложить на множители: a) 3c³ - 75c; 6) 3x² + 6xy + 3y²; в) х³ + 8. 3. Упростить выражение: (2 + 6y)² - y²(6 + 5y)(6 – 5y) – y²(12y - y²). 4. Разложить на множители: a) (a - b)² - a²; 6) x³ + y³ + 2xy(x + y). 5. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8. 6*. При любом натуральном и найдите остаток от деления выражения (п + 1)(n + 5) – (п – 2)(n + 2) на 6. 7*. Решите уравнение: (2x−1)(4x² + 2x + 1) - 8x(x² + 1) = 3x + 4.

Ответ: Решения ниже

1. Представить в виде многочлена:

а) \[(b-5)(b-4) - 3b(2b - 3)\]

• Раскрываем скобки: \[b^2 - 4b - 5b + 20 - 6b^2 + 9b\]
• Приводим подобные члены: \[b^2 - 6b^2 - 4b - 5b + 9b + 20\]
• Получаем: \[-5b^2 + 20\]

б) \(3x(x - 2) - (x - 3)^2\)

• Раскрываем скобки: \(3x^2 - 6x - (x^2 - 6x + 9)\)
• Раскрываем скобки и меняем знаки: \(3x^2 - 6x - x^2 + 6x - 9\)
• Приводим подобные члены: \(3x^2 - x^2 - 6x + 6x - 9\)
• Получаем: \(2x^2 - 9\)

в) \(5(a + 1)^2 - 10a\)

• Раскрываем скобки: \(5(a^2 + 2a + 1) - 10a\)
• Раскрываем скобки: \(5a^2 + 10a + 5 - 10a\)
• Приводим подобные члены: \(5a^2 + 10a - 10a + 5\)
• Получаем: \(5a^2 + 5\)

2. Разложить на множители:

а) \(3c^3 - 75c\)

• Выносим общий множитель \(3c\): \(3c(c^2 - 25)\)
• Раскладываем разность квадратов: \(3c(c - 5)(c + 5)\)

б) \(3x^2 + 6xy + 3y^2\)

• Выносим общий множитель \(3\): \(3(x^2 + 2xy + y^2)\)
• Сворачиваем полный квадрат: \(3(x + y)^2\)

в) \(x^3 + 8\)

• Представляем \(8\) как \(2^3\): \(x^3 + 2^3\)
• Раскладываем сумму кубов: \((x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)

3. Упростить выражение:

\[(y^2 + 6y)^2 - y^2(6 + 5y)(6 - 5y) - y^2(12y - y^2)\]

• Раскрываем скобки: \[y^4 + 12y^3 + 36y^2 - y^2(36 - 25y^2) - 12y^3 + y^4\]
• Раскрываем скобки: \[y^4 + 12y^3 + 36y^2 - 36y^2 + 25y^4 - 12y^3 + y^4\]
• Приводим подобные члены: \[y^4 + 25y^4 + y^4 + 12y^3 - 12y^3 + 36y^2 - 36y^2\]
• Получаем: \[27y^4\]

4. Разложить на множители:

а) \((a - b)^2 - a^2\)

• Раскрываем скобки: \(a^2 - 2ab + b^2 - a^2\)
• Приводим подобные члены: \(-2ab + b^2\)
• Выносим общий множитель \(b\): \(b(-2a + b)\)

б) \(x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\)

• Раскладываем сумму кубов: \((x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)\)
• Выносим общий множитель \((x + y)\): \((x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy)\)
• Приводим подобные члены: \((x + y)(x^2 + xy + y^2)\)

5. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.

Пусть \(n\) – нечетное число, тогда \(n = 2k + 1\), где \(k\) – целое число.

• Рассмотрим \(n^2 - 1\): \((2k + 1)^2 - 1\)
• Раскрываем скобки: \(4k^2 + 4k + 1 - 1\)
• Приводим подобные члены: \(4k^2 + 4k\)
• Выносим общий множитель \(4k\): \(4k(k + 1)\)

Так как \(k\) и \(k + 1\) – два последовательных целых числа, одно из них обязательно четное. Значит, \(k(k + 1)\) делится на 2.

Тогда \(4k(k + 1)\) делится на \(4 \cdot 2 = 8\).

Следовательно, если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.

6*. При любом натуральном n найдите остаток от деления выражения (n + 1)(n + 5) – (n – 2)(n + 2) на 6.

• Раскрываем скобки: \((n^2 + 5n + n + 5) - (n^2 - 4)\)
• Приводим подобные члены: \(n^2 + 6n + 5 - n^2 + 4\)
• Упрощаем: \(6n + 9\)
• Делим \(6n + 9\) на 6: \((6n + 9) \div 6 = n + \frac{9}{6} = n + 1 + \frac{3}{6}\)

Остаток от деления выражения \((n + 1)(n + 5) - (n - 2)(n + 2)\) на 6 равен 3.

7*. Решите уравнение:

\[(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x(x^2 + 1) = 3x + 4\]

• Раскрываем скобки: \[8x^3 + 4x^2 + 2x - 4x^2 - 2x - 1 - 8x^3 - 8x = 3x + 4\]
• Приводим подобные члены: \[8x^3 - 8x^3 + 4x^2 - 4x^2 + 2x - 2x - 8x - 3x = 4 + 1\]
• Упрощаем: \[-11x = 5\]
• Делим обе части на -11: \[x = -\frac{5}{11}\]

Ответ: Решения выше