Представьте число \(-\frac{23}{3}\pi\) в виде \(\alpha+2\pi k\), где \(k\) — целое число, \(|\alpha|<2\pi\).

Выделим полный оборот:

\[-\frac{23}{3}\pi=-\frac{21}{3}\pi-\frac{2}{3}\pi=-7\pi-\frac{2}{3}\pi=-\frac{2}{3}\pi+2\pi\cdot(-\!\,\frac{7}{2}).\]

Однако коэффициент при \(2\pi\) должен быть целым. Представим число иначе:

\[-\frac{23}{3}\pi=-\frac{23}{3}\pi+2\pi\cdot 0.\]

Здесь \(\alpha=-\frac{23}{3}\pi\), но условие \(|\alpha|<2\pi\) не выполняется. Добавим \(2\pi\):

\[-\frac{23}{3}\pi=\frac{1}{3}\pi+2\pi\cdot(-4).\]

Действительно, \(\frac{1}{3}\pi-8\pi=-\frac{23}{3}\pi\), причём \(\left|\frac{1}{3}\pi\right|<2\pi\).

Ответ: \(\alpha=\frac{\pi}{3},\ k=-4\).