Представьте дробь \(\frac{5n^2+3n+6}{n}\) в виде суммы двучлена и дроби. Выясните, при каких натуральных \(n\) данная дробь принимает натуральные значения.

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\(\frac{5n^2+3n+6}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{3n}{n}+\frac{6}{n}=5n+3+\frac{6}{n}\), где \(n\ne0\).

Чтобы значение было натуральным, дробь \(\frac{6}{n}\) должна быть целым числом: целые слагаемые \(5n+3\) уже натуральны для натурального \(n\). Значит, натуральное \(n\) должно быть делителем 6.

Положительные делители числа 6: \(1,2,3,6\). При них значение выражения соответственно равно \(14,16,20,34\), то есть натурально.

Ответ: \(n=1,2,3,6\).