Представьте дроби в виде суммы двух дробей, знаменатели которых — многочлены первой степени: а) (6x + 1)/(4x² − 1); б) (3x + 18)/(9x² − 4); в) (x + 17)/((2x − 1)(3x + 2)); г) (7x − 6)/((4x − 1)(3x − 5)).

Разложим знаменатели на линейные множители и найдём числители дробей, приравнивая коэффициенты.

1. а) \(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\). Пусть \(\dfrac{6x+1}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2x+1}\). Тогда \(2(A+B)=6, A-B=1\), откуда \(A=2, B=1\). Ответ: \(\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{2x+1}\).
2. б) \(9x^2-4=(3x-2)(3x+2)\). Пусть \(\dfrac{3x+18}{(3x-2)(3x+2)}=\dfrac{A}{3x-2}+\dfrac{B}{3x+2}\). Тогда \(3(A+B)=3, 2(A-B)=18\), поэтому \(A=5, B=-4\). Ответ: \(\dfrac5{3x-2}-\dfrac4{3x+2}\).
3. в) Пусть \(\dfrac{x+17}{(2x-1)(3x+2)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{3x+2}\). Получаем \(3A+2B=1, 2A-B=17\), откуда \(A=5, B=-7\). Ответ: \(\dfrac5{2x-1}-\dfrac7{3x+2}\).
4. г) Пусть \(\dfrac{7x-6}{(4x-1)(3x-5)}=\dfrac{A}{4x-1}+\dfrac{B}{3x-5}\). Тогда \(3A+4B=7, -5A-B=-6\). Решение системы: \(A=1, B=1\). Ответ: \(\dfrac1{4x-1}+\dfrac1{3x-5}\).