Представьте многочлен 54а³b² + 16b² в виде произведения.

Краткое пояснение:

Чтобы представить многочлен в виде произведения, нужно вынести общий множитель за скобки. В данном случае, это многочлен вида \( a^3 b^3 + c^3 \), который раскладывается по формуле куба суммы или разности. Здесь мы видим, что \( 54a^3b^2 \) и \( 16b^2 \) имеют общий множитель \( 2b^2 \). После вынесения общего множителя, нужно попытаться разложить оставшееся выражение на множители, возможно, используя формулу куба разности: \( (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вынесем общий множитель \( 2b^2 \) из многочлена \( 54a^3b^2 + 16b^2 \).
   \( 2b^2 (27a^3 + 8) \)
2. Шаг 2: Заметим, что \( 27a^3 \) является кубом \( 3a \), а \( 8 \) является кубом \( 2 \).
   Это соответствует формуле суммы кубов: \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \).
   В нашем случае, \( x = 3a \) и \( y = 2 \).
3. Шаг 3: Применим формулу суммы кубов:
   \( 27a^3 + 8 = (3a+2)((3a)^2 - (3a)(2) + 2^2) \)
   \( = (3a+2)(9a^2 - 6a + 4) \)
4. Шаг 4: Объединим вынесенный множитель и разложенное выражение:
   \( 54a^3b^2 + 16b^2 = 2b^2 (3a+2)(9a^2 - 6a + 4) \)

Ответ: 2b²(3a + 2)(9a² – 6a + 4)