Представьте в виде многочлена: a) (a + b) (a - b + 1) - (a - b) (a + b - 1); б) (a + 3b) (a + b + 2) - (a + b) (a + 3b + 2); в) (а² - 3а + 1) (2a + 1)²; г) (2b + 3) (b - 2)³; д) (а – 1)³ + 3 (a - 1)² + 3 (a - 1) + 1; е) (a + 1)⁴ + (a - 1)⁴; ж) (b - 2) (b⁴ + 2b³ + 4b³ + 8b + 16); з) (a² + ab + b²) (a² - ab + b²) (a⁴ - a²b² + b²).

Решение:

а) \( (a + b) (a - b + 1) - (a - b) (a + b - 1) \)

Раскроем скобки:

\( (a^2 - ab + a + ab - b^2 + b) - (a^2 + ab - a - ab - b^2 + b) \)

\( (a^2 - b^2 + a + b) - (a^2 - b^2 - a + b) \)

\( a^2 - b^2 + a + b - a^2 + b^2 + a - b \)

\( 2a \)

б) \( (a + 3b) (a + b + 2) - (a + b) (a + 3b + 2) \)

Раскроем скобки:

\( (a^2 + ab + 2a + 3ab + 3b^2 + 6b) - (a^2 + 3ab + 2a + ab + 3b^2 + 2b) \)

\( (a^2 + 4ab + 3b^2 + 2a + 6b) - (a^2 + 4ab + 3b^2 + 2a + 2b) \)

\( a^2 + 4ab + 3b^2 + 2a + 6b - a^2 - 4ab - 3b^2 - 2a - 2b \)

\( 4b \)

в) \( (a^2 - 3a + 1) (2a + 1)^2 \)

Сначала раскроем квадрат:

\( (2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1 \)

Теперь перемножим многочлены:

\( (a^2 - 3a + 1) (4a^2 + 4a + 1) \)

\( a^2(4a^2 + 4a + 1) - 3a(4a^2 + 4a + 1) + 1(4a^2 + 4a + 1) \)

\( (4a^4 + 4a^3 + a^2) - (12a^3 + 12a^2 + 3a) + (4a^2 + 4a + 1) \)

\( 4a^4 + 4a^3 + a^2 - 12a^3 - 12a^2 - 3a + 4a^2 + 4a + 1 \)

\( 4a^4 - 8a^3 - 7a^2 + a + 1 \)

г) \( (2b + 3) (b - 2)^3 \)

Сначала раскроем куб:

\( (b - 2)^3 = b^3 - 3 \cdot b^2 \cdot 2 + 3 \cdot b \cdot 2^2 - 2^3 = b^3 - 6b^2 + 12b - 8 \)

Теперь перемножим:

\( (2b + 3) (b^3 - 6b^2 + 12b - 8) \)

\( 2b(b^3 - 6b^2 + 12b - 8) + 3(b^3 - 6b^2 + 12b - 8) \)

\( (2b^4 - 12b^3 + 24b^2 - 16b) + (3b^3 - 18b^2 + 36b - 24) \)

\( 2b^4 - 12b^3 + 3b^3 + 24b^2 - 18b^2 - 16b + 36b - 24 \)

\( 2b^4 - 9b^3 + 6b^2 + 20b - 24 \)

д) \( (a - 1)^3 + 3 (a - 1)^2 + 3 (a - 1) + 1 \)

Это формула куба суммы: \( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \). В данном случае \( x = (a - 1) \) и \( y = 1 \).

\( ((a - 1) + 1)^3 = (a)^3 = a^3 \)

е) \( (a + 1)^4 + (a - 1)^4 \)

Используем формулу бинома Ньютона:

\( (a + 1)^4 = a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1 \)

\( (a - 1)^4 = a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1 \)

Сложим:

\( (a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1) + (a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1) \)

\( 2a^4 + 12a^2 + 2 \)

ж) \( (b - 2) (b^4 + 2b^3 + 4b^3 + 8b + 16) \)

Это не похоже на стандартную формулу разности кубов. Перепишем выражение в скобках:

\( b^4 + 6b^3 + 8b + 16 \)

Перемножим:

\( b(b^4 + 6b^3 + 8b + 16) - 2(b^4 + 6b^3 + 8b + 16) \)

\( (b^5 + 6b^4 + 8b^2 + 16b) - (2b^4 + 12b^3 + 16b + 32) \)

\( b^5 + 6b^4 + 8b^2 + 16b - 2b^4 - 12b^3 - 16b - 32 \)

\( b^5 + 4b^4 - 12b^3 + 8b^2 - 32 \)

з) \( (a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4) \)

Рассмотрим первые два множителя: \( (a^2 + b^2 + ab) (a^2 + b^2 - ab) \)

Это формула разности квадратов \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \), где \( x = a^2 + b^2 \) и \( y = ab \).

\( (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4 \)

Теперь умножим на третий множитель:

\( (a^4 + a^2b^2 + b^4) (a^4 - a^2b^2 + b^4) \)

Это снова формула разности квадратов \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \), где \( x = a^4 + b^4 \) и \( y = a^2b^2 \).

\( (a^4 + b^4)^2 - (a^2b^2)^2 = (a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - a^4b^4 = a^8 + a^4b^4 + b^8 \)

Ответ:

а) \( 2a \)

б) \( 4b \)

в) \( 4a^4 - 8a^3 - 7a^2 + a + 1 \)

г) \( 2b^4 - 9b^3 + 6b^2 + 20b - 24 \)

д) \( a^3 \)

е) \( 2a^4 + 12a^2 + 2 \)

ж) \( b^5 + 4b^4 - 12b^3 + 8b^2 - 32 \)

з) \( a^8 + a^4b^4 + b^8 \)