Представьте в виде многочлена: a) (x + 4)(x² - 4x + 16); б) (3a + 5)(9a² - 15a + 25).

Решение:

Для решения будем использовать формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) и сумму кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).

а) (x + 4)(x² - 4x + 16)

1. Заметим, что выражение \( x^2 - 4x + 16 \) похоже на часть формулы суммы кубов.
2. Сравним \( x^2 - 4x + 16 \) с \( a^2 - ab + b^2 \). В данном случае \( a = x \) и \( b = 4 \), тогда \( ab = x \cdot 4 = 4x \) и \( b^2 = 4^2 = 16 \).
3. Таким образом, \( x^2 - 4x + 16 \) соответствует \( a^2 - ab + b^2 \) при \( a = x \) и \( b = 4 \).
4. Поэтому \( (x + 4)(x^2 - 4x + 16) \) является разложением суммы кубов \( x^3 + 4^3 \).
5. Вычислим \( 4^3 \): \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \).
6. Итак, \( (x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 64 \).

б) (3a + 5)(9a² - 15a + 25)

1. Заметим, что выражение \( 9a^2 - 15a + 25 \) похоже на часть формулы суммы кубов.
2. Сравним \( 9a^2 - 15a + 25 \) с \( x^2 - xy + y^2 \). В данном случае \( x = 3a \) и \( y = 5 \).
3. Проверим \( x^2 \), \( xy \), \( y^2 \):
• \( x^2 = (3a)^2 = 9a^2 \)
• \( xy = (3a) \cdot 5 = 15a \)
• \( y^2 = 5^2 = 25 \)
4. Таким образом, \( 9a^2 - 15a + 25 \) соответствует \( x^2 - xy + y^2 \) при \( x = 3a \) и \( y = 5 \).
5. Следовательно, \( (3a + 5)(9a^2 - 15a + 25) \) является разложением суммы кубов \( (3a)^3 + 5^3 \).
6. Вычислим \( (3a)^3 \) и \( 5^3 \):
• \( (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3 \)
• \( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
7. Итак, \( (3a + 5)(9a^2 - 15a + 25) = 27a^3 + 125 \).

Ответ: а) x³ + 64; б) 27a³ + 125.