163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: a) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\); B) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right)^2\); б) \(\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)^2\); г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 - \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right)^2\).

Решение

Давай разберем по порядку каждый пункт задания и представим выражения в виде многочленов или рациональных дробей.

а) \(\left(n + \frac{1}{n}\right)^2\)

Используем формулу квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В нашем случае, \(a = n\) и \(b = \frac{1}{n}\). Подставим в формулу:

\[\left(n + \frac{1}{n}\right)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + \left(\frac{1}{n}\right)^2 = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}.\]

б) \(\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)^2\)

Используем формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

В нашем случае, \(a = \frac{a}{b}\) и \(b = \frac{b}{a}\). Подставим в формулу:

\[\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2}.\]

в) \(\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right)^2\)

Раскроем каждый квадрат по формулам квадрата суммы и разности:

\[\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 = \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2\frac{x}{y} + 1,\] \[\left(\frac{x}{y} - 1\right)^2 = \left(\frac{x}{y}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1^2 = \frac{x^2}{y^2} - 2\frac{x}{y} + 1.\]

Теперь сложим эти два выражения:

\[\left(\frac{x^2}{y^2} + 2\frac{x}{y} + 1\right) + \left(\frac{x^2}{y^2} - 2\frac{x}{y} + 1\right) = \frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2} + 1 + 1 = \frac{2x^2}{y^2} + 2.\]

г) \(\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 - \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right)^2\)

Раскроем каждый квадрат по формулам квадрата суммы и разности:

\[\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 + 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \left(\frac{q}{p}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2},\] \[\left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right)^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 - 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + \left(\frac{q}{p}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2} - 2 + \frac{q^2}{p^2}.\]

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\[\left(\frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2}\right) - \left(\frac{p^2}{q^2} - 2 + \frac{q^2}{p^2}\right) = \frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2} - \frac{p^2}{q^2} + 2 - \frac{q^2}{p^2} = 4.\]

Ответ: a) \(n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}\); б) \(\frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2}\); в) \(\frac{2x^2}{y^2} + 2\); г) 4

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!