Представьте в виде многочлена выражение: 1) (x + 9)²; 2) (3a-8b)²; 3) (m-7)(m + 7); 4) (6a + 10b)(10b-6a). Разложите на множители: 1) с² - 1; 2) x² - 4x + 4; 3) 25y²-4; 4) 36a²-60ab + 256². Упростите выражение (х + 3)(x - 3) - (x-4)2. Решите уравнение: (5x-1)(x+2) + 3(x-4)(x + 4) = 2(2x+3)2-8. Представьте в виде произведения выражение: (3a - 1)²- (a + 2)². Упростите выражение (а – 6) (а + 6) (36 + а²) - (a² – 18)² и найдите его значение при а = -1/6 Докажите, что выражение х²- 6х + 13 принимает положительные значения при всех значениях х.

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (x + 9)²:

Смотри, тут всё просто: используем формулу квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

\((x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81\)

Ответ: \(x^2 + 18x + 81\)

2) (3a - 8b)²:

Используем формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

\((3a - 8b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 8b + (8b)^2 = 9a^2 - 48ab + 64b^2\)

Ответ: \(9a^2 - 48ab + 64b^2\)

3) (m - 7)(m + 7):

Используем формулу разности квадратов: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).

\((m - 7)(m + 7) = m^2 - 7^2 = m^2 - 49\)

Ответ: \(m^2 - 49\)

4) (6a + 10b)(10b - 6a):

Перегруппируем и используем формулу разности квадратов:

\((6a + 10b)(10b - 6a) = (10b + 6a)(10b - 6a) = (10b)^2 - (6a)^2 = 100b^2 - 36a^2\)

Ответ: \(100b^2 - 36a^2\)

2. Разложите на множители:

1) c² - 1:

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

\(c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)\)

Ответ: \((c - 1)(c + 1)\)

2) x² - 4x + 4:

Используем формулу квадрата разности: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

\(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2\)

Ответ: \((x - 2)^2\)

3) 25y² - 4:

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

\(25y^2 - 4 = (5y)^2 - 2^2 = (5y - 2)(5y + 2)\)

Ответ: \((5y - 2)(5y + 2)\)

4) 36a² - 60ab + 25b²:

Используем формулу квадрата разности: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

\(36a^2 - 60ab + 25b^2 = (6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot 5b + (5b)^2 = (6a - 5b)^2\)

Ответ: \((6a - 5b)^2\)

3. Упростите выражение (x + 3)(x - 3) - (x-4)²:

Сначала раскроем скобки:

\((x + 3)(x - 3) - (x - 4)^2 = (x^2 - 9) - (x^2 - 8x + 16) = x^2 - 9 - x^2 + 8x - 16\)

Затем упростим:

\(x^2 - 9 - x^2 + 8x - 16 = 8x - 25\)

Ответ: \(8x - 25\)

4. Решите уравнение: (5x - 1)(x + 2) + 3(x - 4)(x + 4) = 2(2x + 3)² - 8:

Раскрываем скобки и упрощаем:

\((5x - 1)(x + 2) + 3(x - 4)(x + 4) = 2(2x + 3)^2 - 8\)

\(5x^2 + 10x - x - 2 + 3(x^2 - 16) = 2(4x^2 + 12x + 9) - 8\)

\(5x^2 + 9x - 2 + 3x^2 - 48 = 8x^2 + 24x + 18 - 8\)

\(8x^2 + 9x - 50 = 8x^2 + 24x + 10\)

Переносим все в одну сторону:

\(15x = -60\)

Делим обе части на 15:

\(x = -4\)

Ответ: \(x = -4\)

5. Представьте в виде произведения выражение: (3a - 1)² - (a + 2)²:

Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

\((3a - 1)^2 - (a + 2)^2 = ((3a - 1) - (a + 2))((3a - 1) + (a + 2)) = (3a - 1 - a - 2)(3a - 1 + a + 2) = (2a - 3)(4a + 1)\)

Ответ: \((2a - 3)(4a + 1)\)

6. Упростите выражение (а – 6)(а + 6)(36 + а²) - (a² – 18)² и найдите его значение при а = -1/6:

Сначала упростим выражение:

\((a - 6)(a + 6)(36 + a^2) - (a^2 - 18)^2 = (a^2 - 36)(36 + a^2) - (a^4 - 36a^2 + 324) = a^4 - 36^2 - (a^4 - 36a^2 + 324) = a^4 - 1296 - a^4 + 36a^2 - 324 = 36a^2 - 1620\)

Подставим \(a = -\frac{1}{6}\):

\(36 \cdot (-\frac{1}{6})^2 - 1620 = 36 \cdot \frac{1}{36} - 1620 = 1 - 1620 = -1619\)

Ответ: -1619

7. Докажите, что выражение x² - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x:

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

\(x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)^2 + 4\)

Так как \((x - 3)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), то \((x - 3)^2 + 4\) всегда больше или равно 4, то есть всегда положительно.

Ответ: Выражение всегда принимает положительные значения.