Представьте в виде многочлена: a) (x + 7)(x - 2); б) (4c-d)(6c + 3d); в) (у + 5)(у² - 3y + 8). Разложите на множители: a) y(a - b) + 2(a - b); б) 3x- 3y + ax - ay. Упростите выражение xy(x + y) – (x² + y²)(x - 2y). Докажите тождество а(а – 2) – 8 = (а + 2)(а – 4). Длина прямоугольника на 12 дм больше его ширины. Если длину увеличить на 3 дм, а ширину — на 2 дм, то площадь его увеличится на 80 дм². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Задание 1

Представьте в виде многочлена:

a) \[(x + 7)(x - 2) = x^2 - 2x + 7x - 14 = x^2 + 5x - 14\]

б) \[(4c - d)(6c + 3d) = 24c^2 + 12cd - 6cd - 3d^2 = 24c^2 + 6cd - 3d^2\]

в) \[(y + 5)(y^2 - 3y + 8) = y^3 - 3y^2 + 8y + 5y^2 - 15y + 40 = y^3 + 2y^2 - 7y + 40\]

Задание 2

Разложите на множители:

a) \[y(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(y + 2)\]

б) \[3x - 3y + ax - ay = 3(x - y) + a(x - y) = (x - y)(3 + a)\]

Задание 3

Упростите выражение \[xy(x + y) – (x^2 + y^2)(x - 2y)\]

\[xy(x + y) – (x^2 + y^2)(x - 2y) = x^2y + xy^2 - (x^3 - 2x^2y + xy^2 - 2y^3) = x^2y + xy^2 - x^3 + 2x^2y - xy^2 + 2y^3 = -x^3 + 3x^2y + 2y^3\]

Задание 4

Докажите тождество \[a(a – 2) – 8 = (a + 2)(a – 4)\]

Левая часть: \[a(a - 2) - 8 = a^2 - 2a - 8\]

Правая часть: \[(a + 2)(a - 4) = a^2 - 4a + 2a - 8 = a^2 - 2a - 8\]

Так как левая часть равна правой части, тождество доказано.

Задание 5

Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) дм, тогда длина равна \(x + 12\) дм. Площадь прямоугольника равна \(x(x + 12)\) дм². Если длину увеличить на 3 дм, а ширину — на 2 дм, то новая длина будет \(x + 12 + 3 = x + 15\) дм, а новая ширина — \(x + 2\) дм. Новая площадь будет \((x + 2)(x + 15)\) дм². По условию, новая площадь больше старой на 80 дм², то есть

\[(x + 2)(x + 15) = x(x + 12) + 80\]

\[x^2 + 15x + 2x + 30 = x^2 + 12x + 80\]

\[x^2 + 17x + 30 = x^2 + 12x + 80\]

\[17x - 12x = 80 - 30\]

\[5x = 50\]

\[x = 10\]

Значит, ширина прямоугольника равна 10 дм, а длина равна 10 + 12 = 22 дм.

Ответ: Длина прямоугольника равна 22 дм, ширина равна 10 дм.

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!