1. Представьте в виде многочлена: a) (x-4)(x+2); 6) (4a-b)(2a+3b); в) (y-5)(y²-2y+3). 2. Разложите на множители: a) a(x - y) + 4(x - y); 6) 3x-3y + ax-ay. 3. Упростите выражение (x + y)у - (x³-y)(y - 1). 4. Докажите тождество (у - а)(y - b) = y² - (a + b)y + ab. 5. Периметр прямоугольника равен 40 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 6 см, то его площадь увеличится на 3 см². Определите площадь первоначального прямоугольника. 6. Разложите выражение х² + 4ху + 3y² на множители, используя различные приемы.

1. Представьте в виде многочлена:
   • a) \((x-4)(x+2)\) Логика такая: используем распределительное свойство умножения, чтобы раскрыть скобки, а затем упростим выражение. \[ (x-4)(x+2) = x(x+2) - 4(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8 \]

     Ответ: \[x^2 - 2x - 8\]

   • б) \((4a-b)(2a+3b)\) Снова применяем распределительное свойство. \[ (4a-b)(2a+3b) = 4a(2a+3b) - b(2a+3b) = 8a^2 + 12ab - 2ab - 3b^2 = 8a^2 + 10ab - 3b^2 \]

     Ответ: \[8a^2 + 10ab - 3b^2\]

   • в) \((y-5)(y^2-2y+3)\) Раскрываем скобки: \[ (y-5)(y^2-2y+3) = y(y^2-2y+3) - 5(y^2-2y+3) = y^3 - 2y^2 + 3y - 5y^2 + 10y - 15 = y^3 - 7y^2 + 13y - 15 \]

     Ответ: \[y^3 - 7y^2 + 13y - 15\]

2. Разложите на множители:
   • а) \(a(x - y) + 4(x - y)\) Выносим общий множитель \((x-y)\) за скобки. \[ a(x - y) + 4(x - y) = (a + 4)(x - y) \]

     Ответ: \[(a + 4)(x - y)\]

   • б) \(3x - 3y + ax - ay\) Группируем члены и выносим общие множители. \[ 3x - 3y + ax - ay = 3(x - y) + a(x - y) = (3 + a)(x - y) \]

     Ответ: \[(3 + a)(x - y)\]

3. Упростите выражение \((x + y)y - (x^3 - y)(y - 1)\). Раскроем скобки и упростим. \[ (x + y)y - (x^3 - y)(y - 1) = xy + y^2 - (x^3y - x^3 - y^2 + y) = xy + y^2 - x^3y + x^3 + y^2 - y = x^3 - x^3y + xy + 2y^2 - y \]

   Ответ: \[x^3 - x^3y + xy + 2y^2 - y\]

4. Докажите тождество \((y - a)(y - b) = y^2 - (a + b)y + ab\). Раскрываем скобки в левой части: \[ (y - a)(y - b) = y^2 - by - ay + ab = y^2 - (a + b)y + ab \] Левая часть равна правой, тождество доказано.

   Ответ: Тождество доказано.

5. Периметр прямоугольника равен 40 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 6 см, то его площадь увеличится на 3 см². Определите площадь первоначального прямоугольника. Пусть \(l\) - длина, \(w\) - ширина прямоугольника. Тогда: \[ 2(l + w) = 40 \Rightarrow l + w = 20 \Rightarrow l = 20 - w \] Площадь: \(S = lw\). После изменений: Длина: \(l - 3\), ширина: \(w + 6\). Новая площадь: \((l - 3)(w + 6) = lw + 3\). Подставляем \(l = 20 - w\) в уравнение для новой площади: \[ (20 - w - 3)(w + 6) = (20 - w)w + 3 \Rightarrow (17 - w)(w + 6) = 20w - w^2 + 3 \Rightarrow 17w + 102 - w^2 - 6w = 20w - w^2 + 3 \Rightarrow 11w + 102 = 20w + 3 \Rightarrow 9w = 99 \Rightarrow w = 11 \] Тогда \(l = 20 - 11 = 9\). Первоначальная площадь: \(S = lw = 9 \cdot 11 = 99\) см².

   Ответ: Первоначальная площадь равна 99 см².

6. Разложите выражение \(x^2 + 4xy + 3y^2\) на множители, используя различные приемы. Представим \(4xy\) как \(xy + 3xy\): \[ x^2 + 4xy + 3y^2 = x^2 + xy + 3xy + 3y^2 = x(x + y) + 3y(x + y) = (x + 3y)(x + y) \]

   Ответ: \[(x + 3y)(x + y)\]

Ответ:

Ответ: