Представьте в виде многочлена: a) (y-4)(y + 5); 6) (3a + 2b)(5a - b); в) (x - 3)(x² + 2x - 6). Разложите на множители: a) b(b + 1) 3(b + 1); б) са св+ 2a - 26. Упростите выражение (a²-b²)(2a + b) - ab(a + b). Докажите тождество (хx-3)(x + 4) = x(x + 1) - 12. Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ши- рину увеличить на 3 см, а длину на 2 см, то площадь его увеличится на 78 см². Найдите длину и ширину прямоуголь- ника.

Задание 1: Представьте в виде многочлена:

a) (y - 4)(y + 5)

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

\[ (y - 4)(y + 5) = y(y + 5) - 4(y + 5) = y^2 + 5y - 4y - 20 = y^2 + y - 20 \]

б) (3a + 2b)(5a - b)

Раскроем скобки:

\[ (3a + 2b)(5a - b) = 3a(5a - b) + 2b(5a - b) = 15a^2 - 3ab + 10ab - 2b^2 = 15a^2 + 7ab - 2b^2 \]

в) (x - 3)(x² + 2x - 6)

Раскроем скобки:

\[ (x - 3)(x^2 + 2x - 6) = x(x^2 + 2x - 6) - 3(x^2 + 2x - 6) = x^3 + 2x^2 - 6x - 3x^2 - 6x + 18 = x^3 - x^2 - 12x + 18 \]

Задание 2: Разложите на множители:

a) b(b + 1) - 3(b + 1)

Вынесем общий множитель (b + 1) за скобки:

\[ b(b + 1) - 3(b + 1) = (b + 1)(b - 3) \]

б) ca - cb + 2a - 2b

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

\[ ca - cb + 2a - 2b = c(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(c + 2) \]

Задание 3: Упростите выражение (a² - b²)(2a + b) - ab(a + b)

Раскроем скобки и упростим:

\[ (a^2 - b^2)(2a + b) - ab(a + b) = 2a^3 + a^2b - 2ab^2 - b^3 - a^2b - ab^2 = 2a^3 - 3ab^2 - b^3 \]

Задание 4: Докажите тождество (x - 3)(x + 4) = x(x + 1) - 12

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Левая часть:

\[ (x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12 \]

Правая часть:

\[ x(x + 1) - 12 = x^2 + x - 12 \]

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Задание 5: Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину на 2 см, то площадь его увеличится на 78 см². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Пусть ширина прямоугольника равна x, тогда длина равна 2x. Площадь прямоугольника равна S = x * 2x = 2x².

Если ширину увеличить на 3 см, а длину на 2 см, то новая ширина будет x + 3, а новая длина 2x + 2. Новая площадь будет (x + 3)(2x + 2).

Из условия задачи известно, что новая площадь больше исходной на 78 см²:

\[ (x + 3)(2x + 2) - 2x^2 = 78 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 2x^2 + 2x + 6x + 6 - 2x^2 = 78 \] \[ 8x + 6 = 78 \] \[ 8x = 72 \] \[ x = 9 \]

Значит, ширина прямоугольника равна 9 см, а длина 2 * 9 = 18 см.