1 Представьте в виде многочлена: a) (y-3)(y + 6); б) (7а + 3b)( a - 2b); в) (x - 6)(x2 + 3x - 9). 2 Разложите на множители: a) c(c + 3) 2(c + 3); 6) xb -xc + 5b - 5c. 3 Упростите выражение (3т - п)(m² - п²) – 2mn(m - n). 4 Докажите тождество (у – 5)(y + 8) = y(y + 3) - 40. 5 Ширина прямоугольника на 5 см меньше его длины. Если ширину уменьшить на 3 см, а длину – на 2 см, то площадь его уменьшится на 39 см². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Решение задания №1

а) \((y-3)(y+6)\)

Раскроем скобки:

\[y^2 + 6y - 3y - 18 = y^2 + 3y - 18\]

Ответ: \(y^2 + 3y - 18\)

б) \((7a + 3b)(a - 2b)\)

Раскроем скобки:

\[7a^2 - 14ab + 3ab - 6b^2 = 7a^2 - 11ab - 6b^2\]

Ответ: \(7a^2 - 11ab - 6b^2\)

в) \((x - 6)(x^2 + 3x - 9)\)

Раскроем скобки:

\[x^3 + 3x^2 - 9x - 6x^2 - 18x + 54 = x^3 - 3x^2 - 27x + 54\]

Ответ: \(x^3 - 3x^2 - 27x + 54\)

Решение задания №2

а) \(c(c + 3) - 2(c + 3)\)

Вынесем общий множитель \((c+3)\) за скобки:

\[(c + 3)(c - 2)\]

Ответ: \((c + 3)(c - 2)\)

б) \(xb - xc + 5b - 5c\)

Сгруппируем слагаемые:

\[(xb - xc) + (5b - 5c)\]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[x(b - c) + 5(b - c)\]

Вынесем общий множитель \((b-c)\) за скобки:

\[(b - c)(x + 5)\]

Ответ: \((b - c)(x + 5)\)

Решение задания №3

\[(3m - n)(m^2 - n^2) - 2mn(m - n)\]

Вынесем общий множитель \((m-n)\) за скобки. Для этого представим \((m^2 - n^2)\) как \((m - n)(m + n)\):

\[(3m - n)(m - n)(m + n) - 2mn(m - n) = (m - n)((3m - n)(m + n) - 2mn)\]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[(m - n)(3m^2 + 3mn - nm - n^2 - 2mn) = (m - n)(3m^2 - n^2)\]

Ответ: \((m - n)(3m^2 - n^2)\)

Решение задания №4

Докажем тождество \((y - 5)(y + 8) = y(y + 3) - 40\)

Раскроем скобки в левой части:

\[y^2 + 8y - 5y - 40 = y^2 + 3y - 40\]

Раскроем скобки в правой части:

\[y^2 + 3y - 40 = y^2 + 3y - 40\]

Так как левая и правая части равны, то тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Решение задания №5

Пусть \(x\) – длина прямоугольника, тогда \(x - 5\) – ширина прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна \(x(x - 5)\).

После уменьшения длины на 2 см, а ширины на 3 см, длина стала \(x - 2\), а ширина \(x - 5 - 3 = x - 8\).

Площадь уменьшилась на 39 см², значит, новая площадь равна \(x(x - 5) - 39\).

Составим уравнение:

\[(x - 2)(x - 8) = x(x - 5) - 39\]

Раскроем скобки:

\[x^2 - 8x - 2x + 16 = x^2 - 5x - 39\]

\[x^2 - 10x + 16 = x^2 - 5x - 39\]

Приведем подобные члены:

\[-10x + 5x = -39 - 16\]

\[-5x = -55\]

\[x = 11\]

Длина прямоугольника равна 11 см, тогда ширина равна \(11 - 5 = 6\) см.

Ответ: Длина – 11 см, ширина – 6 см.