17) Представьте в виде натурального числа значение числового выражения \(\frac{41-13\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} - \sqrt{7}\).

Пошаговое решение:

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \(3 + \sqrt{7}\):\[\frac{41-13\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(41-13\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}\]
2. Раскроем скобки в числителе:\[(41-13\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 41 \cdot 3 + 41\sqrt{7} - 13\sqrt{7}\cdot 3 - 13 \cdot 7 = 123 + 41\sqrt{7} - 39\sqrt{7} - 91 = 32 + 2\sqrt{7}\]
3. Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов:\[(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2\]
4. Теперь упростим дробь:\[\frac{32 + 2\sqrt{7}}{2} = 16 + \sqrt{7}\]
5. Вычтем \(\sqrt{7}\) из полученного выражения:\[16 + \sqrt{7} - \sqrt{7} = 16\]

Ответ: 16