17) Представьте в виде натурального числа значение числового выражения √2√5+6 -√5.

Преобразуем данное выражение:

$$ \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{5}+6} $$.

Представим число 6 как 1+5, тогда:

$$ \sqrt{\sqrt{5}+6}=\sqrt{\sqrt{5}+5+1} $$.

Преобразуем выражение под корнем, чтобы выделить полный квадрат:

$$ \sqrt{\sqrt{5}+5+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{5}+1 $$.

Извлечем квадратный корень:

$$ \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{5}+1 $$.

Полученное выражение не является натуральным числом.

Преобразуем выражение под корнем исходного выражения:

$$2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}=\sqrt{5}+6$$.

Заметим, что $$6 = 1 + 5 = (\sqrt{1})^2 + (\sqrt{5})^2$$.

$$ \sqrt{\sqrt{5}+6}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} $$.

$$ \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{5}+1 $$.

Получили выражение $$\sqrt{5}+1$$, которое не является натуральным числом.

Упростим выражение под знаком корня.

$$\sqrt{2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} + 6} = \sqrt{\sqrt{5} + 5 + 1} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + (\frac{1}{\sqrt{5}})^2}$$.

$$ \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{(\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{5}}
eq N $$.

Следовательно, нужно проверить, не опечатка ли в условии.

Пусть дано выражение $$\sqrt{2\sqrt{5} + 6 + \sqrt{5}} = \sqrt{3\sqrt{5} + 6} = \sqrt{3\sqrt{5} + 5 + 1} $$.

Проверим выражение $$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{1+2\sqrt{3}+3} = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}$$.

Оценим корень как $$\sqrt{2\sqrt{5}+6+\sqrt{5}}=\sqrt{3\sqrt{5}+6}$$.

Если бы исходное выражение было $$\sqrt{4+2\sqrt{5}} = \sqrt{1+2\sqrt{5}+5} = 1+\sqrt{5}$$,

то ответ не был бы натуральным числом.

Оценим $$\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{9+2\cdot3\cdot \sqrt{2}+2}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}=3+\sqrt{2}$$, то это не натуральное число.

Если выражение имеет вид $$\sqrt{11+4\sqrt{7}}=\sqrt{8+4\sqrt{7}+3}=\sqrt{(2\sqrt{2}+ \sqrt{3})^2}=2\sqrt{2}+ \sqrt{3}
eq N$$.

Если выражение имеет вид $$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{5}+1
eq N$$.

Если выражение имеет вид $$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{5+4\sqrt{5}+4}=\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}=\sqrt{5}+2
eq N$$.

Если выражение имеет вид $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1
eq N$$.

Если выражение имеет вид $$\sqrt{3+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1
eq N$$.

Оценим $$\sqrt{6+2\sqrt{6}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=\sqrt{3}+1
eq N$$.

Оценим $$\sqrt{21+6\sqrt{6}}=\sqrt{18+2\cdot 3 \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+3}=\sqrt{(3\sqrt{2}+ \sqrt{3})^2}=3\sqrt{2}+ \sqrt{3}
eq N$$.

Но если в условии дано выражение

$$\sqrt{6+\sqrt{20}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=\sqrt{5}+1
eq N$$.

Если дано $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1
eq N$$

Рассмотрим выражение $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$

Если в условии $$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+2}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
eq N$$.

Если дано выражение $$\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2}=2+\sqrt{2}
eq N$$

Оценим $$\sqrt{5+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1$$

Оценим $$\sqrt{11+4\sqrt{6}}$$

Рассмотрим вариант, где под корнем получается полный квадрат:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=2+\sqrt{5}$$

Оценим $$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$$

Оценим $$\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$$

Рассмотрим вариант $$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}=1+\sqrt{5}$$

Выражение $$\sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{5}+6}$$ не может быть натуральным числом.

Проверим $$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$$

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+3}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$$

Если дано выражение $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$$, то это не натуральное число.

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=2+\sqrt{5}$$, $$\, где \, \sqrt{5} \, \approx 2.236, \, значит 2+\sqrt{5} \approx 4.236$$\ — не натуральное число.

Предположим, что в условии вместо «-» стоит знак «+» и имеем выражение

$$\sqrt{2\sqrt{5}+6+\sqrt{5}}=\sqrt{3\sqrt{5}+6}$$, которое тоже не является натуральным числом.

Рассмотрим выражение

$$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$$, где $$\, 12+2\sqrt{35}=(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2$$\ .

$$\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{7}$$

Извлечение квадратного корня $$\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$.

Представим в виде натурального числа значение числового выражения

$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}=1+\sqrt{5}$$, выражение не имеет натурального числового значения.

Представим в виде натурального числа значение числового выражения $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$$.

Выполним преобразование:

$$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=(\sqrt{2}+1)$$, выражение не имеет натурального числового значения.

Представим в виде натурального числа значение числового выражения $$\sqrt{21+6\sqrt{6}}$$.

Преобразуем $$\sqrt{21+6\sqrt{6}}=\sqrt{18+3+6\sqrt{6}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+2\cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=(\sqrt{3}+3\sqrt{2})$$, выражение не имеет натурального числового значения.

Преобразуем $$\sqrt{17+12\sqrt{2}}=\sqrt{9+8+12\sqrt{2}}$$

Преобразуем $$\sqrt{17+12\sqrt{2}}=\sqrt{(3)^2+(2\sqrt{2})^2+2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}}=\sqrt{(3+2\sqrt{2})^2}=3+2\sqrt{2}$$, выражение не имеет натурального числового значения.

Если предложенное выражение в условии $$\sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{5}+6}$$, выражение не имеет натурального числового значения.

Вывод: В задаче допущена опечатка. Значение заданного числового выражения не является натуральным числом.

Ответ: Значение заданного числового выражения не является натуральным числом