1002. Представьте в виде произведения: a) x⁴ - y⁴; б) 81 – m⁴; в) a – a⁵; г) 3x⁵ – 5x; д) 2a⁴b – 2b⁵; e) 3a⁵b – 3ab⁵.

Разбираемся с разложением выражений на множители!

а) x⁴ - y⁴

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

x⁴ - y⁴ = (x²)² - (y²)² = (x² - y²)(x² + y²)

Теперь разложим (x² - y²) снова по формуле разности квадратов:

(x² - y²) = (x - y)(x + y)

Итого:

x⁴ - y⁴ = (x - y)(x + y)(x² + y²)

Ответ: (x - y)(x + y)(x² + y²)

б) 81 – m⁴

Представим 81 как 9² и m⁴ как (m²)²:

81 – m⁴ = 9² - (m²)² = (9 - m²)(9 + m²)

Теперь разложим (9 - m²) снова по формуле разности квадратов:

(9 - m²) = (3 - m)(3 + m)

Итого:

81 – m⁴ = (3 - m)(3 + m)(9 + m²)

Ответ: (3 - m)(3 + m)(9 + m²)

в) a – a⁵

Вынесем общий множитель a за скобки:

a – a⁵ = a(1 - a⁴)

Теперь разложим (1 - a⁴) как разность квадратов: (1 - (a²)²):

1 - a⁴ = (1 - a²)(1 + a²)

И еще раз (1 - a²):

1 - a² = (1 - a)(1 + a)

Итого:

a – a⁵ = a(1 - a)(1 + a)(1 + a²)

Ответ: a(1 - a)(1 + a)(1 + a²)

г) 3x⁵ – 5x

Вынесем x за скобки:

3x⁵ – 5x = x(3x⁴ - 5)

Ответ: x(3x⁴ - 5)

д) 2a⁴b – 2b⁵

Вынесем общий множитель 2b за скобки:

2a⁴b – 2b⁵ = 2b(a⁴ - b⁴)

Теперь разложим (a⁴ - b⁴) как разность квадратов: (a²)² - (b²)²:

a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

И еще раз (a² - b²):

a² - b² = (a - b)(a + b)

Итого:

2a⁴b – 2b⁵ = 2b(a - b)(a + b)(a² + b²)

Ответ: 2b(a - b)(a + b)(a² + b²)

e) 3a⁵b – 3ab⁵

Вынесем общий множитель 3ab за скобки:

3a⁵b – 3ab⁵ = 3ab(a⁴ - b⁴)

Теперь разложим (a⁴ - b⁴) как разность квадратов: (a²)² - (b²)²:

a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

И еще раз (a² - b²):

a² - b² = (a - b)(a + b)

Итого:

3a⁵b – 3ab⁵ = 3ab(a - b)(a + b)(a² + b²)

Ответ: 3ab(a - b)(a + b)(a² + b²)