Представьте выражение в виде произведения многочленов: a) a³b⁶ - 8; б) x³y³z³ + t⁶; в) 1 - p³q⁶r⁹; г) xy⁶ - z³x; д) c⁷ - c; e) m⁶n⁶ + 27m³n³; ж) (c - d)³ + (-c - d)³; з) (a + b)³ - (a - b)³; и) (x - 5)³ + (x + 5)³.

Разбираемся:

Чтобы представить данные выражения в виде произведения многочленов, нужно использовать формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки или другие методы разложения на множители.

а) a³b⁶ - 8;

Представим как разность кубов: (ab²)³ - 2³.

Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Тогда: (ab²)³ - 2³ = (ab² - 2)((ab²)² + 2ab² + 2²) = (ab² - 2)(a²b⁴ + 2ab² + 4).

Ответ: (ab² - 2)(a²b⁴ + 2ab² + 4)

б) x³y³z³ + t⁶;

Представим как сумму кубов: (xyz)³ + (t²)³.

Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

(xyz)³ + (t²)³ = (xyz + t²)((xyz)² - xyz \* t² + (t²)²) = (xyz + t²)(x²y²z² - xyz t² + t⁴).

Ответ: (xyz + t²)(x²y²z² - xyzt² + t⁴)

в) 1 - p³q⁶r⁹;

Представим как разность кубов: 1³ - (pq²r³)³.

Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

1³ - (pq²r³)³ = (1 - pq²r³)(1² + 1 \* pq²r³ + (pq²r³)²)= (1 - pq²r³)(1 + pq²r³ + p²q⁴r⁶).

Ответ: (1 - pq²r³)(1 + pq²r³ + p²q⁴r⁶)

г) xy⁶ - z³x;

Вынесем общий множитель x за скобки: x(y⁶ - z³).

Представим как разность квадратов: x((y³)² - (z√z)²).

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

x(y⁶ - z³) = x(y³ - z√z)(y³ + z√z).

Ответ: x(y³ - z√z)(y³ + z√z)

д) c⁷ - c;

Вынесем общий множитель c за скобки: c(c⁶ - 1).

Представим как разность квадратов: c((c³)² - 1²).

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

c(c⁶ - 1) = c(c³ - 1)(c³ + 1).

Теперь разложим c³ - 1 и c³ + 1 по формулам разности и суммы кубов:

c(c³ - 1)(c³ + 1) = c(c - 1)(c² + c + 1)(c + 1)(c² - c + 1).

Ответ: c(c - 1)(c² + c + 1)(c + 1)(c² - c + 1)

e) m⁶n⁶ + 27m³n³;

Представим как сумму кубов: (m²n²)³ + (3mn)³.

Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

(m²n²)³ + (3mn)³ = (m²n² + 3mn)((m²n²)² - m²n² \* 3mn + (3mn)²) = (m²n² + 3mn)(m⁴n⁴ - 3m³n³ + 9m²n²).

Ответ: (m²n² + 3mn)(m⁴n⁴ - 3m³n³ + 9m²n²)

ж) (c - d)³ + (-c - d)³;

Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

(c - d)³ + (-c - d)³ = ((c - d) + (-c - d))((c - d)² - (c - d)(-c - d) + (-c - d)²).

Упростим выражение: (-2d)((c - d)² + (c - d)(c + d) + (c + d)²).

Раскроем скобки и упростим: (-2d)(c² - 2cd + d² + c² - d² + c² + 2cd + d²) = (-2d)(3c² + d²).

Ответ: -2d(3c² + d²)

з) (a + b)³ - (a - b)³;

Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

(a + b)³ - (a - b)³ = ((a + b) - (a - b))((a + b)² + (a + b)(a - b) + (a - b)²).

Упростим выражение: (2b)((a + b)² + (a² - b²) + (a - b)²).

Раскроем скобки и упростим: (2b)(a² + 2ab + b² + a² - b² + a² - 2ab + b²) = (2b)(3a² + b²).

Ответ: 2b(3a² + b²)

и) (x - 5)³ + (x + 5)³;

Используем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

(x - 5)³ + (x + 5)³ = ((x - 5) + (x + 5))((x - 5)² - (x - 5)(x + 5) + (x + 5)²).

Упростим выражение: (2x)((x - 5)² - (x² - 25) + (x + 5)²).

Раскроем скобки и упростим: (2x)(x² - 10x + 25 - x² + 25 + x² + 10x + 25) = (2x)(x² + 75).

Ответ: 2x(x² + 75)