Представьте выражение в виде рациональной дроби и сократите её. \frac{a - 3}{4a^2 + 24a + 36}: (\frac{a}{3a - 9} - \frac{a^2 + 9}{3a^2 - 27} - \frac{3}{a^2 + 3a}) = \frac{a}{4a + 12} Найдите значение этого выражения при а = \frac{2}{3}.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим выражение в скобках:

Разложим знаменатели на множители:

3a - 9 = 3(a - 3)

3a² - 27 = 3(a² - 9) = 3(a - 3)(a + 3)

a² + 3a = a(a + 3)

• Получаем:

\[\frac{a}{3(a - 3)} - \frac{a^2 + 9}{3(a - 3)(a + 3)} - \frac{3}{a(a + 3)}\]

• Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{a \cdot a(a + 3) - (a^2 + 9) \cdot a - 3 \cdot 3(a - 3)}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a^3 + 3a^2 - a^3 - 9a - 9a + 27}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{3a^2 - 18a + 27}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{3(a^2 - 6a + 9)}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{3(a - 3)^2}{3a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a - 3}{a(a + 3)}\]

• Шаг 2: Разложим на множители знаменатель первой дроби:

4a² + 24a + 36 = 4(a² + 6a + 9) = 4(a + 3)²

• Шаг 3: Выполним деление:

\[\frac{a - 3}{4(a + 3)^2} : \frac{a - 3}{a(a + 3)} = \frac{a - 3}{4(a + 3)^2} \cdot \frac{a(a + 3)}{a - 3} = \frac{a}{4(a + 3)}\]

• Шаг 4: Подставим a = \frac{2}{3} в упрощенное выражение:

\[\frac{\frac{2}{3}}{4(\frac{2}{3} + 3)} = \frac{\frac{2}{3}}{4(\frac{2 + 9}{3})} = \frac{\frac{2}{3}}{4 \cdot \frac{11}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{44} = \frac{2}{44} = \frac{1}{22}\]

Ответ: \(\frac{1}{22}\)