Представьте выражение в виде рациональной дроби и сократите её. (2a^2 + 12a + 18) : (a/(3a - 9) - (a^2 + 9)/(3a^2 - 27) - 3/(a^2 + 3a)) Найдите значение этого выражения при a = 2/3.

Решение:

Сначала преобразуем выражение в скобках:

\( \frac{a}{3a - 9} - \frac{a^2 + 9}{3a^2 - 27} - \frac{3}{a^2 + 3a} \)

Вынесем общие множители из знаменателей:

\( \frac{a}{3(a - 3)} - \frac{a^2 + 9}{3(a^2 - 9)} - \frac{3}{a(a + 3)} \)

\( \frac{a}{3(a - 3)} - \frac{a^2 + 9}{3(a - 3)(a + 3)} - \frac{3}{a(a + 3)} \)

Приведём к общему знаменателю \( 3a(a - 3)(a + 3) \):

\( \frac{a \cdot a(a + 3)}{3a(a - 3)(a + 3)} - \frac{(a^2 + 9)a}{3a(a - 3)(a + 3)} - \frac{3 … 3(a - 3)}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

\( \frac{a^2(a + 3) - a(a^2 + 9) - 9(a - 3)}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{a^3 + 3a^2 - a^3 - 9a - 9a + 27}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

Упростим числитель:

\( \frac{3a^2 - 18a + 27}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

Вынесем общий множитель 3 из числителя:

\( \frac{3(a^2 - 6a + 9)}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

Свернём квадрат суммы в числителе:

\( \frac{3(a - 3)^2}{3a(a - 3)(a + 3)} \)

Сократим дробь на \( 3(a - 3) \):

\( \frac{a - 3}{a(a + 3)} \)

Теперь разделим числитель \( 2a^2 + 12a + 18 \) на полученное выражение:

\( \frac{2a^2 + 12a + 18}{\frac{a - 3}{a(a + 3)}} \)

Вынесем общий множитель 2 из числителя:

\( \frac{2(a^2 + 6a + 9)}{\frac{a - 3}{a(a + 3)}} \)

Свернём квадрат суммы в числителе:

\( \frac{2(a + 3)^2}{\frac{a - 3}{a(a + 3)}} \)

Умножим на обратную дробь:

\( \frac{2(a + 3)^2 … a(a + 3)}{a - 3} \)

\( \frac{2a(a + 3)^3}{a - 3} \)

Найдем значение выражения при \( a = \frac{2}{3} \):

\( \frac{2 \cdot \frac{2}{3} (\frac{2}{3} + 3)^3}{\frac{2}{3} - 3} \)

\( \frac{\frac{4}{3} (\frac{2+9}{3})^3}{\frac{2-9}{3}} \)

\( \frac{\frac{4}{3} (\frac{11}{3})^3}{\frac{-7}{3}} \)

\( \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{1331}{27}}{\frac{-7}{3}} \)

\( \frac{\frac{5324}{81}}{\frac{-7}{3}} \)

\( \frac{5324}{81} \cdot \frac{3}{-7} \)

\( \frac{5324}{27 \cdot (-7)} \)

\( \frac{5324}{-189} \)

\( -\frac{5324}{189} \)

Ответ: \( -\frac{5324}{189} \).