Решение заданий на степени

1. Представьте выражение в виде степени:

а) $$x^5 \cdot x^8$$

При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются:

$$x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13}$$

Ответ: $$x^{13}$$

б) $$m^{14} : m$$

При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя. Учитываем, что $$m = m^1$$:

$$m^{14} : m = m^{14} : m^1 = m^{14-1} = m^{13}$$

Ответ: $$m^{13}$$

в) $$(a^5)^{13}$$

При возведении степени в степень, показатели перемножаются:

$$(a^5)^{13} = a^{5 \cdot 13} = a^{65}$$

Ответ: $$a^{65}$$

г) $$\frac{t^3 \cdot t^4}{t^6}$$

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$t^3 \cdot t^4 = t^{3+4} = t^7$$

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:

$$\frac{t^7}{t^6} = t^{7-6} = t^1 = t$$

Ответ: $$t$$

д) $$(b^7)^3 : (b^5)^4$$

Сначала возведем каждую степень в степень:

$$(b^7)^3 = b^{7 \cdot 3} = b^{21}$$ $$(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$$

Теперь выполним деление:

$$b^{21} : b^{20} = b^{21-20} = b^1 = b$$

Ответ: $$b$$

е) $$\frac{n^2 \cdot (n^3)^4}{n^7}$$

Сначала упростим числитель. Возведем степень в степень:

$$(n^3)^4 = n^{3 \cdot 4} = n^{12}$$

Теперь умножим на $$n^2$$:

$$n^2 \cdot n^{12} = n^{2+12} = n^{14}$$

Разделим полученное выражение на знаменатель:

$$\frac{n^{14}}{n^7} = n^{14-7} = n^7$$

Ответ: $$n^7$$

2. Вычислите: $$\frac{3^{10} \cdot (3^2)^3}{3 \cdot (3^5)^2}$$

Сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности.

В числителе возведем степень в степень:

$$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$$

Теперь умножим $$3^{10}$$ на $$3^6$$:

$$3^{10} \cdot 3^6 = 3^{10+6} = 3^{16}$$

В знаменателе возведем степень в степень:

$$(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$$

Теперь умножим на 3 (помните, что $$3 = 3^1$$):

$$3 \cdot 3^{10} = 3^1 \cdot 3^{10} = 3^{1+10} = 3^{11}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{3^{16}}{3^{11}} = 3^{16-11} = 3^5$$

Вычислим $$3^5$$:

$$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$$

Ответ: 243