Решение выражений

a)

$$
-\frac{c^3 + 7c^2}{2b} : \frac{49 - c^2}{4b^2}
$$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби:
$$
-\frac{c^2(c + 7)}{2b} : \frac{(7 - c)(7 + c)}{4b^2}
$$

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:
$$
-\frac{c^2(c + 7)}{2b} \times \frac{4b^2}{(7 - c)(7 + c)}
$$

Сократим общие множители:
$$
-\frac{c^2}{1} \times \frac{2b}{(7 - c)}
$$

$$
= -\frac{2bc^2}{7 - c}
$$

$$
= \frac{2bc^2}{c - 7}
$$

Ответ: $$\frac{2bc^2}{c - 7}$$

б)

$$
\frac{3m - 6n}{mn} : (m^2 - 4mn + 4n^2)
$$

Разложим числитель первой дроби и выражение в скобках на множители:
$$
\frac{3(m - 2n)}{mn} : (m - 2n)^2
$$

Заменим деление умножением, перевернув второе выражение:
$$
\frac{3(m - 2n)}{mn} \times \frac{1}{(m - 2n)^2}
$$

Сократим общие множители:
$$
\frac{3}{mn(m - 2n)}
$$

Ответ: $$\frac{3}{mn(m - 2n)}$$

в)

$$
\frac{ax - 3a}{2x + 6} : \frac{9 - x^2}{x^2 + 6x + 9}
$$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатели обеих дробей:
$$
\frac{a(x - 3)}{2(x + 3)} : \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x + 3)^2}
$$

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:
$$
\frac{a(x - 3)}{2(x + 3)} \times \frac{(x + 3)^2}{(3 - x)(3 + x)}
$$

Сократим общие множители (учтем, что x - 3 = -(3 - x)):
$$
-\frac{a}{2} \times \frac{x + 3}{3 + x}
$$

$$
= -\frac{a}{2}
$$

Ответ: $$\frac{-a}{2}$$

г)

$$
\frac{a^3 + 1}{a - 1} : \frac{a^2 - a + 1}{a^2 - 1}
$$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби (используем формулу суммы кубов и разность квадратов):
$$
\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a - 1} : \frac{a^2 - a + 1}{(a - 1)(a + 1)}
$$

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:
$$
\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a - 1} \times \frac{(a - 1)(a + 1)}{a^2 - a + 1}
$$

Сократим общие множители:
$$
(a + 1)(a + 1)
$$

$$
= (a + 1)^2
$$

$$
= a^2 + 2a + 1
$$

Ответ: $$a^2 + 2a + 1$$