Предварительные последовательности Вариант 1 1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (ап), если a₁=2[?][?] a2=5. 2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ( bn), если в₁=27, a знаменатель q=1/3.

Вариант 1

Задача 1: Арифметическая прогрессия

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдём разность арифметической прогрессии (d).

  d = a₂ - a₁ = 5 - 2 = 3

• Шаг 2: Найдём четырнадцатый член (a₁₄) по формуле: aₙ = a₁ + (n - 1)d

  a₁₄ = a₁ + (14 - 1)d = 2 + 13 * 3 = 2 + 39 = 41

• Шаг 3: Найдём сумму двадцати первых членов (S₂₀) по формуле: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) / 2 * n

  S₂₀ = (2a₁ + (20 - 1)d) / 2 * 20 = (2 * 2 + 19 * 3) / 2 * 20 = (4 + 57) / 2 * 20 = 61 / 2 * 20 = 61 * 10 = 610

Ответ: Четырнадцатый член равен 41, сумма двадцати первых членов равна 610.

Задача 2: Геометрическая прогрессия

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдём пятый член (b₅) по формуле: bₙ = b₁ * q^(n - 1)

  b₅ = b₁ * q^(5 - 1) = 27 * (1/3)⁴ = 27 * (1/81) = 1/3

• Шаг 2: Найдём сумму четырёх первых членов (S₄) по формуле: Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

  S₄ = b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q) = 27 * (1 - (1/3)⁴) / (1 - 1/3) = 27 * (1 - 1/81) / (2/3) = 27 * (80/81) / (2/3) = 27 * (80/81) * (3/2) = (27 * 80 * 3) / (81 * 2) = (1 * 40 * 1) / (1 * 1) = 40

Ответ: Пятый член равен 1/3, сумма четырёх первых членов равна 40.